Расчет пластинок на прочность и устойчивость методом сеток - Чуватов В.В.
Расчет пластинок на прочность и устойчивость методом сеток
Автор: Чуватов В.В.Издательство: Свердловск
Год издания: 1972
Страницы: 107
Читать: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
Скачать:
B.B ЧУВАТОВ
расчет пластинок на прочность
и устойчивость
методом сеток МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР УРАЛЬСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ч ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. С. М. КИРОВА
В. В. ЧУВАТОВ
РАСЧЕТ ПЛАСТИНОК НА ПРОЧНОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ . . МЕТОДОМ СЕТОК
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
для студентов очного, заочного и вечернего обучения специальностей строительного и механического факультетов
Издание УПИ
Свердловск 1972 ВВЕДЕНИЕ
Многие задачи строительной механики и теории упругости сводятся к решению дифференциальных уравнений при известных начальных или краевых условиях. Решение этих уравнений не всегда возможно в замкнутом виде. В этом случае применяют приближенные численные методы. Один из наиболее эффективных численных методов — метод сеток. Основой этого метода является замена входящих в дифференциальное уравнение производных их приближенными выражениями через значения искомой функции в некоторых фиксированных точках, называемых узлами. Эта замена сводит решение дифференциального уравнения к решению системы линейных алгебраических уравнений, неизвестными в которых являются значения функции в узловых точках.
Метод сеток получил особенно большое распространение в последние годы в связи с появлением малых и электронно-вычислительных машин, -что дает возможность решать просто и единообразно системы линейных алгебраических уравнений со многими неизвестными. - ¦
I. МЕТОД CEtOK
§ 1. Выражения для производных через значения функций в узловых точках
Теорема Тейлора. Если функция у=/(х) (рис. 1) в промежутке от х=а до x=a-\-h непрерывна и имеет непрерывные производные от 1-й до п-й включительно, то:
f(a+h)=f(a)+±P(o)+
+ -|/п(«) +
(Ia)
У*№
а
Рис. 1.
Выражение (Ia) носит название формулы Тейлора. Воспользуемся этой формулой для определения приближенного выражения производных функции y=f{x) в произвольной точке k (рис. 2),і которую будем называть центральной.
3 Соседние с k точки предполагаем равноотстоящими, с расстоянием ft между ними. Согласно равенства (Ia) имеем:
Aa
,III. *Lj_vIV.it
(16) (їв)
Еслй Ограничиться удержанием первых трех членов разложения Тейлора, то, вычитая из уравнения (16) уравнение (1в), получаем:
или
.Уа—Уь
У і
Ih
(2а)
Сумма отброшенных членов разложения Тейлора образует остаточный член О. В данном случае он будет равен:
0=у\}1 '—+УІ • —- + Ук б ~гУк 120т
(26)
Остаточный член тем меньше, чем меньше h и, следовательно,
формула (2а) тем точнее, чем меньше h.
Приближенное выражение для второй производной получаем путем сложения уравнения (16) с уравнением (1в), ограничиваясь первыми тремя членами разложения:
Уа+Уь^Ук+УІ1-^
или
и ~ Уа — ЇУк+Уь Л2
У
у=т
«ъ Ук Уа
*
h
К
Рис. 2.
а
У к
?)
Взяв первую производную, согласно (2а) и рис. 2, от второй, получим выражение для третьей производной:
у и І = ІУа— Ьк+Уь\1 _ Ус —У к — 2 (Уа—Уь)+Ук ~Уй
A2
I
2h3
или
Ук 2 ft»
.(4)
Аналогично получаем выражение для четвертой производной:
^ya-Зу*+JVj11 .
^yc — 2'Уа+Ук — 2 (Уа — ^Ук+Уь)+Ук — 2jУъ+Уа к1
y*Vj
После преобразований получим:
, Ус — 4уа+6уа — 4уь+Уи h*
Ук
IV-
(116)
Если в формуле Тейлора удерживать более 3-х членов, то можно получить более точные формулы для производных. f Они приведены в приложении 1. Там же даны формулы для производных, выраженные через значения функции в точках, расположенных только справа или только слева от центральной.
І
§ 2. Решение дифференциальных уравнений методом сеток
Как уже былб отмечено во введении, основой метода, сеток является замена производных, входящих в дифференциальное уравнение, их приближенными выражениями. Так как этот метод численный, приведем несколько примеров решения этим методом, элементарных задач, известных читателю из курса сопротивления материалов.
Пример 1. Определить прогиб по середйне пролета балки от действия равномерно-распределенной нагрузки, интенсивностью q (рис. 3,а). Жесткость балки — El. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки:
Mx
EI
(6)
Пролет балки разобьем на четыре одинаковых участка, т. е. примем шаг сетки A=i- УЗЛ0Ёые точки обозначим цифрами: 0, 1,2.
Изгибающий момент в произвольном сечении балки:
¦X).
Величины моментов, определенные по этой формуле в точках 1, 2:
Эпюра изгибающих моментов изображена на рис. 3,6.
Используя выражение (3) для второй производной, заришем уравнение (6) для точек 1 и 2. , Точка 1
Уо — 2Уі+Уи_. 3 gl* \ Aa 32 El'
5 Точка 2
Уі — 2уг+уі A2
-L.a!L
32 El'
Принимая во внимание, • что У0=0,
А=—, и обозначая 4
512 EI
-А, получаем:
—2у1 + у2=—ЗА; 2у1 — 2у2=—4А Решая уравнения, находим:
=5А=—• ^-=0,00976
71 512 EI EI
yz=7A=—' —=0,01367 —..
72 512 EI EI
Точное значение
JL^l
384 EI
у2= — ±-=0,01302 . 7 0°" Dr EI
¦ Погрешность составляет 5%. Пример 2. Определить угол поворота на левой опоре в балке от единичного момента (рис. 4, а). Эпюра изгибающих моментов приведена на рис. 4,6. Уравнение (6) для точек 1, 2, 3 можно записать так:
