Расчет пластинок на прочность и устойчивость методом сеток - Чуватов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
64Для расчета наносим на плиту сетку с шагом Ax=Aу=~ .
4
Точки сетки, имеющие одинаковые прогибы, обозначаем одной цифрой.
1. Канонические уравнения для определения приведенных моментов. Уравнение (119) записываем для каждой точки сетки, имея в виду, что на контуре приведенные моменты равны нулю.
I II III
Точка 1
Точка 2
Точка 3
AM1 — 2 M2
-9І1 ' 16'
III
2M1 + AM2 — M3= —.
16
1 2 і
г 3 2
1 2 1
— 4М, + 4М3=
gl2 16
шшшшшпшшшш
/6. \г
Рис. 55.
Для приведения этой системы к каноническому виду необходимо третье
уравнение умножить на %=~ (коэффициент симметризации).
2. Определение коэффициентов влияния и приведенных моментов. Вычисление коэффициентов приведено в табл. 6. Приведенные моменты находим по формуле (120). Получаем:
*
M1=-!—{Ш + 250+—250) q— = 0,043OqP; 1 1000 V 4 /16 4
M0
M4
1
1000 V 1
1000
250 + 500 250 + 500-
— 500^ —
4 / 16
= 0,0547gl2;
1 1500)^-=0,0703(7/2.
3. Канонические уравнения для определения прогибов пластинки. Вычисление прогибов. Согласно формуле (122) уравнения для определения прогибов:
Aw1- 2ш2=0,0430
qi*.
16D
— 20^2 + 4^2-^3=0,0547
16D '
— 4ш2+ 4ш„=0,0703
3L
16Л
Заказ Лг° 318
65Таблица 1 Таблица 2"
M1 M2 м, 2»«
4 —2 0 —2 4 —1 0 —1 1 2 1 0
а. - таблица 6 - таблица
4 —2 0 2
0,5 3 —1 2
0 0,3333 0,6667 0,6667
Коэффициенты влияния, увеличенные в 1000 раз
375 250 250 250 500 500 250 500 1500 875 1250 2250
После приведения этой системы к каноническому
виду ^третье уравнение множится на с п0"
мощью найденных коэффициентов влияния по формуле (123) находим прогибы:
Wl==-L-( 375-0,0430 +
1000
1
+250-0,0547+ -250 X
4
X 0,0703)-^-=2,1362 X
/ 16D
Ша
XlO'
1
1-3^1-D '
-(250-0,0430 + юоо V
-500-0,0547+^-500 X
Проверка: 26ift-2?iA= =^75-2+1250)=3,0.
X 0,0703
gl« 16D
Шо
1
= 2,9297-10-3-^-
D
{250 • 0,0430 + 500 - 0,0547 + -1500 • 0,0703^ = • 1000 I 4 } WD
=4,0283-10_3
D
Наибольший прогиб получится в центре плиты. При р,=0,3 4,0288-10-.-12 (1 -0,3*) = 0)0440 ^
EK'-
Ehb
Точное значение прогиба в центре плиты1
^3=0,0433-^1.
Ehs
, 4. Изгибающие моменты. По формулам (124), (125) находим изгибающие моменты:
' Mxii=Myil=Dil+fx)^-=-^
Ax2
= (1+0,3)(2-2,1362-
— 2,9297) -10-3 • 1 Qql2 = 0,0279ql2;
1Cm.: Б. Г. Галеркин. Собрание сочинений, т. II. Изд. АН СССР,
M., 1953, стр. 13.
66Mxt2 = -D
2W1 — 2w2 , ws — 2ш2
= [2.2,9297 — 2.2,1362 +
Ax2 Ау2
+ 0,3 (2 • 2,9297 — 4,0283)] • IO-3 • IGqP=0,0342?/2;
W3 — 2W2 2 W1 — 2W2
M__п [w3 —2W2 2
Myi2-+р,-
= [2-2,9297 — 4,0283 +
Ал-2
+ 0,3 (2 • 2,9297 — 2 • 2,1362)]. IO"3 • I6ql2=0,0369?/2; ЛГ,.з-Л1Уі3 = 2?) (1 + |A) -^^f=^— 2(1 +0,3)(4,0283 —
Ax2
*
-2,9297)-IO-3-16^=0,0457?/2. Точное значение моментов в центре плиты Mx=My=0,0479?/2.
5. Крутящие моменты. По формуле (126) находим:
Mxyil = - D(1-ц) -^s-=-(1-0,3)1^1-6.10-V2=
4Дл-Ду 4
= -0,0113 ql2-,
Mxy, 2=Mxy, 3=0.
6. Крутящие моменты на контуре. По формуле (127) определяем:
Mv,„ -DO - ,) JU = _ „ _ 0*?Ш 10-х
X1 б?/2 = 0,0164?/2.
7. Крутящие моменты в угловых точках. По формуле (128) получим:
Mxyj=-Di
AxAy
= —(1 — 0,3) 2,1362-10-М6?/2=—0,0239?/2.
8. Поперечные силы. Согласно выражениям (129) и (130), будем иметь следующие значения поперечных сил:
^=^ = ^=^/=0,1094?/;
Qx.2 = 0, Q,,2=^=°Al?/=0,1406?/; ZAy I
Qxl3=Qy, з=0.
9. Поперечные силы на контуре. По формуле (132) находим:
йлі=^ + і?Лу=Мї*4 + ±^ = 0,2970?/;
Ay 2 I 2 4
Ms , 1 л 0,0547?/2 , , 1 ql л Oyioo , Qy1III = Tj- + - ?Ду=——4 + — ~ 0.3438<7/. Ду Z г 2 4-
6 Заказ №318 6710. Опорные реакций. Находим их в точках контура по выражению (133):
r> AJj 1 д wn,—2w1+w1 Ry,n^+-qAy-D(
так как на контуре Mx п = 0, то Ww = — W1 и, следовательно, = 0,2970(7/+(1 -0,3)^1^103-64^=0,3448^;
•^v.iii = — +4- QAy + D (1 — p.) ¦ Ш2 -
AJ
2Д*2Ду
:0,3438g/+ (1 — 0,3)
2,9297
Ю-3-64^=0,.4094^
и и'^fyC2
овмгуе
сотувг
Рис. 56.
11. Сосредоточенные опорные реакции в углах пластинки.
По формуле (134) находим:
Ri =— 2D(l — — (1 — 0,3)2,1362х
AxAy
X Ю-3-IQqt2 = - 0,0478?/2.
12. Проверка расчета. Любая отсеченная часть пластинки должна находиться в равновесии под действием внешних сил и внутренних усилий, приложенных в месте разреза, т. е. должны соблюдаться равенства:
1. 2*=0; 4. SAfr=0;
2. 2^=0; 5. 2Му = 0;
3. 22 = 0; 6. ZMz = 0.
68\
Сделаем разрез пластинки по сечению III—III и проверим выполнение указанных равенств. Силы, действующие на рассматриваемую половину пластинки, изображены на рис. 56. Первое, второе и шестое уравнения удовлетворяются тождественно. Сделаем проверку выпол- 1 нения остальных трех. Если
22=0,
то
Y + 2- 0.0478(7/2 — 4 • 0,3448-j- ql2 -
-2-0,4094^ qP = (0,5000 —
— 0,4539) ql2 = 0,0461?/2,
что составляет погрешность порядка 0,0461-100 ^22Q7o