Расчет пластинок на прочность и устойчивость методом сеток - Чуватов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 28.
2-Х=0, 2Y=O, 2M=O. Внутренние усилия, представляющий собой результат воздействия отброшенной части пластинки на оставшуюся, определяются по эпюрам напряжений в месте* разреза. На рис. 28, а изображена половина пластинки с действующими'на нее силами. Нормальные напряжения, действующие по разрезу I—IX на каждом участке, равном шагу сетки Ay=Ax, заменены равнодействующими. Касательные напряжения в сечении I—IX отсутствуют. Величина равнодействующей на каждом участке равна площади эпюры4 напряжений этого участка и приложена в центре тяжести этой эпюры. Поскольку на каждом участке эпюра напряже-¦ ний имеет вид трапеции, то расстояние до центра тяжести, от нижнего основания ус (рис. 28, б) определяется по формуле
Дуа+26 Ус 3 а+Ь'
. Согласно этой формуле находцу:
Ay 253+2-0,311 л сі7 л У*ЧГ' 0,253+0,311
у ., = — • 0.302+2.0,253 5
сП 3 0,302+0,253 4 4
38 ^,^021+2-0,30? clu 3 0,021+0,0303 4 r
Ду 1,459-2-0,021 AOOQ А ^lv 3 '"1,459 - 0,021 Я^ЩЬу.
ґ
Расстояния от точки IX до каждой из равнодействующих показаны на рис. 28, а. Проверяем выполнение условий равновесия. 1.
(0,719 — 0,282 — 0,277 — 0,161) <?Ду=(0,719 — 0,720) qAyxO. 2. 2^=0
2q Ax— 2qAx=0,
3. 2Mix=0.
Изгибающий момент в сечении I—IX:
Момент, возникающий от внутренних усилий: M = (0,282-3,517 + 0,277-2,485 + 0,161 • 1,647-0,719-0,328) qAy2 =
= IJOfyAy2; 2МІХ=(2— 1,709) <?Ду2=0,291 qAy2.
Погрешность составляет: 14,55%. Сравнительно большой
процент ошибки получился в результате применения сатки с достаточно крупным шагом. Если шаг сетки уменьшить и принять его
равным Ax=Ay=-, то погрешность составит уже 8,8%1. Факти-'6 . ческая погрешность в обоих случаях будет еще меньше, так как эпюра напряжений имеет не ломаное, а криволинейное очертание.
В поверочные уравнения равйовесия отсеченной по I—IX части пластинки у нас вошли только нормальные напряжения ах. Проверка правильности полученных эпюр ау, изображенных на рис. 26, может быть выполнена на основайии равенства сум&ы всех внутренних усилий, действующих по каждому горизонтальному сечению стекки, внешней нагрузке q. Например, разрезая по сечению V—V, получим:
1,704 1 0,855+0,580+0,855+ -=0,999?/.
2 2 / |4
Погрешность ql — 0,999^/=0,001^/ весьма мала. «
Проверка касательных напряжений может быть сделана на основании равенства равнодействующей, Действующей по рассматривае-
1 Эта погрешность для аналогичной пластики определена по эпюре напряжении ох, приведенной в книге Д. В.. Вайнберг, Е. Д. Вайиберг. Пластины, диски, балки-стенки. Киев, Госстройиздат УССР, 1959.
39
0,201f
'оущ
мому вертикальному сечению, проекции" внешней нагрузки, прило-' женной к отсеченной части на вертикальную ось. Например, для
части пластинки, изображенной на рис.4 29, а, должно выполняться усло-±0,067$ ВИЄ ^1Y=O. Имеем
—---^--(0,140 -J-
2 4
+ 0,279 +- 0,362) -J-= = (0,5 — 0,445) ql= 0,055ql.
Значительная погрешность получилась в результате Того, что формула (40) дает при крупной сетке неточные значения Tjcy. Как уже отмечалось, величины касательных напряжений получаются более точными, если их подсчитать не в узлах сетки, а в центре квадратов. Выполняя аналогичную проверку по сечению ag (рис. 29, б), получаем:
5+0^1+0,143 + 0,201+^+^ 0.5)-SU
2 8 - \ 2 2 22/4
' = 0,5ql — 0,489g7=0,01 IqL Погрешность получилась меньшей.
Пример 2. Определить напряжения в пластинке, изображенной на рис. 30.
Принимаем шаг сетки Ax=Aу=а=—. Заданная нагрузка, вместе-
6
с возникающими от нее опорными реакциями вызовет в пластинке симметричное относительно диагонали п—п распределение« функции напряжений (рис. 31). При принятой сетке мы будем иметь пятнадцать неизвестных функций напряжений. Решение может быть упрощено, если нагрузку разбить на три вида: 1) симметричную относительно оси Y и обратно симметричную относительно оси X (рис. 32, а); 2) симметричную относительно оси X и обратно симметричную относительно оси Y (рис. 32, б); 3) обратно симметричную относительно осей ,Xk Y (рис. 32, в).
При первом виде нагрузки будет шесть неизвестных функций-напряжений, а при третьей — четыре. При втором виде нагрузки:
Рйс. 29.
Рис. 30.
40 SP VII VI V IV III и I/
-M
N
функции напряжений могут быть полечены из первого вида путем поворота координатных осей на 90°.
Для определения функции напряжений во внутренних точках контура от каждого вида нагрузки воспользуемся таблицами коэффициентов влияния. Функции напряжений в контурных и законтурных точках определяем по эпюрам изгибающих моментов и продольных усилий от каждого вида нагрузки. Эти эпюры изображены на рис. 32, причем при первом и втором видах нагрузки отсутствуют моменты, а при. третьем— продольные усилия.
1. Нагрузка симметрична относительно оси Y и обратно симметрична относительно оси X. Величины грузовых членов определяем согласно табл. 10 (приложения 2), и эпюры N- (см. рис. 32, а):
Olp=ZPa, а2р=Ct3p=4P a, а^=а5р=авр=0.
m^Fi
X XI
' XIl 2Р XIIl
v2p
