Расчет пластинок на прочность и устойчивость методом сеток - Чуватов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 3. Определить нормальные напряжения пластинки, изображенной на рис. 37, по сечению I—IX и уточнить распределение напряжений по этому сечению.
44 Принимаем шаг [сетки Ax=Ay= С помощью эпюры из-
гибающих моментов и продольных сил, изображенных на рис. 38, находим:
(Pl=Pa, <рп=0,5Pa, фш_1Х=0,
A-Ii=O, i4IV-Vi= ^a' AIII-IX=O-
По формулам (69) определяем грузовые члены:
Olp=U2p=QPa, а3р=—Ра, аір=Ра, аЪр=0, авр=2Ра.
P
г II III
IX
VIIl
IY
VJ' VII
DlSPa Pa
Р_
г-
/7/У}
P
I II III
Рис. 37.
IX VIII Рис. 38.
Ъ
IV
V
VI
У
' Используя коэффициенты влияния, приведенные в табл.^4,"получаем
следующие величины функции напряжений:
(P1=OJilPa-, ф4=0,339Pa-, Фа=0,457Pa; ф5=0,215 Pa-, Ф3=0,477Pa-, ф6=?0,175Pa.
?
0,5*8% 1
I P 0.005f
' 0,002-§
J ЦОЧ7§-
Л 1 P M W30Cl
Il
II
і f« CS-
Ц
ч
а
g ViiIrX
Рис. 39.
Рис. 40.
По формуле (38) вычисляем нормальные напряжения Ox по сечению I—IX. Эпюра напряжений и величины напряжений Gx в этом сечении приведены на рис. 39.
45 , Для уточнения распределения напряжений по сечению I—JX. выделяем квадрат И—4—4—II и квадрат 4—VIII—VIII4-4 (рис. 40). В каждом из этих квадратов сгущаем сетку. Принимаем Ал:=Ay=O15а. Так как выделенные квадраты подобны заданной пластинке, то для удобства пользования коэффициентами влияния нумерацию точек сохраняем в .пределах каждого квадрата прежней (см. рис. 37).
1. Определение функции напряжений и нормальной производной на контуре выделенных квадратов.
Функция напряжений в точках контура квадрата II—4—4—II, совпадающих с узлами основной сетки, известна. Она имеет следующие значения:
Cfl=Pa, фш = 0,5Ра, фу=0,457Ра, фуп=0,339Ра, ф1Х=0,477Ра.
В остальных точках контура функцию напряжений определяем путем интерполяции. По формуле (74) находим:
' фуп —2cPv +tPiIl „о, ЗфуП+4фу — cpjjj _ 4^I=-і?-o +-На-a + (Pv..- .
_ 0,339 — 2-0,457+0,500 p?8 + -3-0,339+4-0,457 — 0,500ра% +t .72 a2 2а
+ 0,339Pa=0,4q8Pa;
Cflv= 2,25Pa* +
2a2
# 1
+ =0.-339+^0'457 ^0'500. l,5Paa + 0,339Pa=0,488Pa.
2a
По формуле (72) определяем фут-'
Фуп— Фіх пос2| 0,339 — 0,477 n ot-D7 , фут =-:--0,25аа + фІХ =—!-—1--0,25Ра3+
а2 а2
+ 0,477Ра=0,443Ра. .
Нормальную производную от функции напряжений в точках III, V, VII, IX определяем по формуле (2а):
(*t) = -°'741Ра = -0,370Р; \дл-/ііі 2а ¦ \dx)v 2а
, im = __ °-477Ра ——0,238Р; \dxjvu 2 а г
^PV = 0,175 - 0,457 ра^_0Л91р.
ду Jvїї 2а
Лр\ = 0,215-0,741 ' ра=_—0,262Р. ду /їх 2а
46 -) =-0,435P; (-?) =—0,304P
/IV \ дх Jvi
В остальных точках контура нормальную производную находим по интерполяции. По1 формуле (74) получаем:
I дх ,
и по формуле (72) находим
Щ =.
ду /VIII
По вычисленным значениям нормальной производной соответственно определяем величины:
-0.244Р.
і Ах=2Ах — и Лу=2Ду- — ;
дл- ' dj;
Лш=—0,5Ра, Ay^r- O,370Pa, AxVU = -0,238Ра, = —0,191 Ра, Л1х=-0,262Ра, ЛIV=—0,435Ра,
ЛУі = —0,304Ра, ¦ Ли 1 = —0,244Ра.
Эпюры- ср и Л на контуре квадрата Il—4—4—III приведены на рис. 41.
Определение функций напряжений и нормальной производной на контуре квадрата 4—VIII—VIII—4 производится аналогично. Эпюры ф и А на контуре этого квадрата приведены на рис. 42.
2. Грузовые члены. По выражениям (69) определяем грузовые
dtp
I
i
Il
? ~ §
I II III И
0,435Pa 0,370Pa
O?QiPa
0,238Pa 4
-T- I Illli
©1 I - і
I 3 * =
I 1- 4g-k ІІЇПІ
IVOMSPa V Ofi57Pа
IX JrIII Vllti
VIOfiOSPa 0,339 Pa
JN В:
? 5?^
Рис. 41.
Квадрат 4—VIlI-VIII—4: Olp= 1,264Ра; а^=7,т Pa; а3р= -0,827Pa-, aip = 0,736Pa;
члены (см. рис. 42).
Квадрат II—4—4—II: а1р=4,024Ра; . а2р= 12,850Ра; Osp=-2,391Ра; а4р=2,082Ра; а5р= 1,490Pa; авр=9,620Ра.
3. Функции напряжений. По вычисленным величинам грузовых членов с помощью коэффициентов влияния, приведенных в табл. 4, находим функции напряжений:
Квадрат II—4—4—II: Квадрат 4—VIII—VIII—4: Фх=0,858Ра; Ф!=0,344Ра;
фа=0,712Ра; Ф2=0,324Ра;
—0,178Ра; вр=—0,824Pa.
47 Cp8=0,717 Pa Ф4=0,632Pa
Ф5=0,597Pa Фв=0,544Ра.
Ф8=0,208Ра Ф4=0,202Ра Фв=0,080Ра Ф6=0,084Ра.
4. Напряжения. Нормальные напряжения Ox по сечению I—
квадратов II—4—4—II и 4—VIII—VIII—4 определяем по фора ле (38). Эпюры и величины напряжений ах приведены на рис
IX
iy-
43.
iK
§ § as? §
§; 'S,
OflOPa 0107 Pa
0.050Pc V/H
чг-г1 i . i Я ШІІІ1ШШ
і f f
І s* rS
-Mx i 5 s 1
\
Рис. 42.
0,032? №7f)
ОЩі 0fi*0§- Ю.чзої]
Рис. 43.
Пунктиром показана эпюра напряжений ах в этом сечении без уточнения решения. Соответствующие этой эпюре величины напряжений приведены на рис. 43 в скобках. Из приведенных эпюр следует, что напряжения в точке 1 под силой P изменились. Они возросли более чем в два раза. Такое резкое изменение напряжений обусловлено тем, что метод сеток при обычно применяемом шаге сетки не позволяет выяснить фактическое распределение напряжений в местах приложения сосредоточенных сил. Следует заметить, что в реальных условиях нагрузка всегда распределена по площади конечных размеров. Выяснение характера распределения напряжений от воздействия сосредоточенной силы представляет только теоретический интерес. Однако практически-возможно воздействие распределенной нагрузки большой интенсивности по малой площади. В этом случае рассмотренный выше прием сгущения се^ки позволяет значительно приблизить получаемый расчетом характер распределения напряжений к действительному.
