Расчет пластинок на прочность и устойчивость методом сеток - Чуватов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3. Применение метода сеток, к расчету свободно опертых
,пластинок
X Z і--- I J--- U t о ¦і-—ч !S ' f I I IN т
и f а t V -і
=3 4 к І
її с S
дХ
При расчете пластинок методом сеток на пластинку наносится сетка. Для каждой точки сетки внутри контура пластинки записывается уравнение изгиЬа пластинки. Входящие в уравнение прогибы в законтурных точках выражаются через прогибы точек внутри контура с помощью граничных условий. Для пластинок, свободно опертых по контуру, приведенные моменты (99) будут равны нулю. Поэтому уравнение изгиба (97) в этом случае целесообразно записывать в форме двух дифференциальных уравнений второго порядка (101) и (102). Допустим, требуется определить внутренние усилия в'плите, Свободно опертой по контуру (рис. 54) от действия вертикальной нагрузки. Примем шаг сетки в направлении оси X — Ах, в направлении оси у —Ay. Во всех уравнениях, содержащих производные, заменим их приближенными выражениями согласно формулам (2а), (3), (4). Общий порядок расчета целесообразно принять следующим.
1. Канонические уравнения для определения приведенных момен-„ д*М , дШ
тов. Для произвольной точки k сетки уравнение ———=—^запи-
дх* ду2
шется в виде:
Рис. 54.
Mb-2Mk+Md-, Ma~2Mk+M,
Ал-2
Ау*
Qk-
61 Обозначив а=(—\2, получим:
Mb - 2Mk +Md + а (Ma- 2Mk + Mc)=-qkAx*
или
2 (1 + а) Mk - (Mb + Md) - а (Ma + Mc)=qkAxK (118) Для квадратной сетки а=1 уравнение (118) будет иметь вид:
mk-(Ma+Mb+Mc + Md)=qkAxK (119)
2. Коэффициенты влияния и приведенные моменты. Уравнение (119) следует записать для каждой точки сетки внутри контура пластинки. В результате получим систему линейных алгебраических уравнений. Эта система всегда- может быть приведена к канонической форме. Коэффициенты влияния целесообразно определять по компактной схеме Гаусса (см. табл. 3). Затем определяются приведенные моменты:
Mft=SWv ' . (120> /»1
где а{р — грузовые члены канонической системы (системы уравнений,, приведенной к симметричному виду).
3. Канонические уравнения для определения прогибов плас-
V ' ^ d2w d2w M
тинки. Уравнение определения прогибов —'+ —~—— аналогична
по своей структуре уравнению определения приведенных моментов. Поэтому для точки k пластинки получим:
Mk
— ywb -Г Wd) — и \wa -Г- Wc) =
для квадратной сетки:
2(l+a)wk-(wb + wd)-a(wa + wc)=1fAx*-, (121)
Awh-(wa + wb + wc + wd)=^'AxK (122)
Поскольку коэффициенты при неизвестных в уравнениях (118), (119) и (121), / (122) одинаковы, то для определения прогибов следует использовать уже найденные коэффициенты влияния. Величины прогибов найдем по формуле:
Wll=lShifiip, ' (123)
і ?=1
T^eaip = Ki--Ax2 при i=k\ Ki — коэффициент симметризации.
4. Изгибающие моменты. Изгибающие моменты в точке k, согласно выражениям (81), (82), найдем па формулам:
M — D Г w" ~2wk+wa і и, wa~2wk+wc
X'k L A*2 Aj2
Mvt6=-D Г «*-Ъ»ы+те + wb-2 wk+wd _
J L АУ2 Ax2 J ¦
62
(124). 5. Крутящие моменты. Крутящий момент Mxv=— D( 1—(i)x
. d*w ,
X- в точке к.
дхду ,
Mw--DiI -,)(??*) =
W 4Д*Ду
или
Mxytk=- D(I-Ii) (Wf+Wh) • ' (126)
, 4AxAy
6. Крутящие моменты на контуре. Согласно (126) крутящий момент в точке і контура:
Mxvti=-D (1 - у) Wo+Wf~{Wr+We),
^ ' V AAxAy
we — 2wn+w0
Так как на контуре Wn=Wi=Wm=0 и Mvra=—2-———, то
' Ayt »
We=,W0=0 или W0= — we, аналогично wr=wf. '
Подставляя в выражения для крутящего момента в точке і контура вместо W0 и Wr их значения, получаем:
aV=-dI1-^IS- <127>
7. Крутящие моменты в угловых точках. Согласно (126) крутящий момент в угловой точке s:
Mxyts=-Dd
' AAxAy
Так как Wt=—Wu и Wz=—wy, а также Wy= — wa, то
Mxy,s=-D( (128)*
AxAу
8. Поперечные силы. Согласно выражениям (103) и (104), между приведенными моментами и поперечными силами существует простая зависимость:
дх
Qy=-.
у ду •¦
,Для точки k эт выражения будут иметь вид:
Qlk = Zb=Ik, - (129)
(130)
63 9; Поперечные сйльї на контуре. Для точки і контура уравнение (І18) можно записать так:
2(1+a)Mi-(Mm + Mn)-a(Mp + Ma)=qtА*2.
(Ах
—J , то из этого уравнения получим:
Mp=-(Ma+qt Af). (131)
Согласно уравнениям (129) и (130) поперечные силы в точке і будут:
п Mfn-Mn_л
Qx.i=——-
2Ах е
п _Ма~Мр
Подставляя вместо Mp его значение [(131) в последнее уравнение, получаем
+ (132)
АУ *
• 10. Опорные реакции. Опорную реакцию в точке і определяем по формуле:
D —П і dMxv,i дх
Подставляя вместо Qy і и МхуЛ их значения, согласно выражениям (132) и (127), получим:
Ry i=M* +1фу _ D (1 _ ц) А -yAУ 2я У V w дх \ 2АХАУ
. =Ms. +1 фу _ В Л _ n) ^ -? - 0? -Ду 2 4 У . 4ДА-2ДД/
или
^gHgAy-Dd-,) (133>
11. Сосредоточенные опорные реакции в углах пластинки.
Rs=2MXy,s=-2D(\-y)^-. (134)
Д*Ду
§ 4. Примеры расчета свободно опертых пластинок
Пример 1.< Определить внутренние усилия в квадратной плите от действия сплошной равномерно распределенной нагрузки (рис. 55).
