Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Первоначальным названием трактата о гномоне было просто «Чжоу-би». В самом тексте памятника в диалоге Чэнь-цзы с Жун Фаном дается объяснение этого термина. Иероглиф «чжоу» обозначает столицу чжоуских ванов. Ныне это г. Лоян провинции Хэнань. Иероглиф «бш> означал шест для измерения солнечной тени. Позже такой шест обозначался иероглифом «бяо», например в тексте Лю Хуэя. Таким образом, чжоу-би — это гномон, и все «действие» в трактате развертывается вокруг вопросов измерительной астрономии. Поэтому древнекитайское сочинение о гномоне больше относится к истории китайской астрономии, хотя и содержит интересующие историков математики сведения. Для астрономических измерений потребовались теорема Пифагора, действия с дробями и другие математические знания, которыми обладали к этому времени древние китайцы.
Правитель Чжоугун|Дань спрашивает Шан Гао: «Мы наслышаны, почтенный сановник, о Вашем искусном владении числами. Разрешите спросить Вас. В древности легендарный правитель Фуси учредил календарь, измерения и другое. Но ведь в небе можно и не взвешивать шэнами, а на земле можно и не мерять длину с помощью чи и цуней. Так скажите, пожалуйста, откуда все же взялись числа [или величины, шу. — Э. Б.]Ь>
Вопрос философский я задан для того, чтобы ученый муж дал ответ: откуда, собственно, взялась математика и что это за наука? На это Шан Гао дает также не менее философский ответ : «Числовые [т. е. математические. — Э. В Л методы происходят из круга
66
и прямоугольника, прямоугольник происходит от угольника, угольник исходит от таблицы „девятью девять — восемьдесят один"».
В этом отрывке форма записи чисел древняя, как на иньских костях, в фольклоре и в притчах Чжуан-цзы; таблица «девятью девять — восемьдесят один» — таблица умножения. Далее рассматривается треугольник со сторонами 3, 4, 5 и говорится, что «площади двух квадратов, построенных на катетах гоу и гу, в сумме составляют 20 и 5, это и есть площадь квадрата, построенного на гипотенузе треугольника. Вот как Фуси управлял Поднебесной, вот откуда возникли числа».
Здесь изложен древнекитайский принцип точных наук, устанавливается цепочка причин, по которой идет логическое развитие науки. Зачем понадобились числа, откуда они взялись? — вот основной вопрос, волнующий правителя. Что же отвечает «искусный в числах» важный сановник?
В основе вычислительного искусства, которое понадобилось легендарному Фуси, лежит угольник. С его помощью получают окружность, возможно, как геометрическое место точек вершин прямых углов, опирающихся на диаметр — общее для них основание. В окружность вписывают прямоугольник, составленный из двух одинаковых угольников. Как видно, древним китайцам, как и древним ионийцам, было известно свойство угла, опирающегося на диаметр, и теорема Пифагора для случая 3, 4, 5. Числа же подчиняются таблице умножения «девятью девять».
Такова попытка «обоснования» вычислительного искусства в соответствии с общим положением о числовой гармонии, наполнявшей мир, напоминающей пифагорейский принцип «все есть число», отраженной в классической «Книге перемен».
Вторая часть диалога Чжоугуна с Шан Гао касается «Дао угольника», т. е. ««Великого Закона» об угольнике. Здесь, в частности, говорится: «Кружа угольником, получают круг; складывая угольники, получают прямоугольник. Прямоугольник — это земля, круг — это небо, небо круглое, земля прямоугольная. Для вычисления [площади] прямоугольника есть правило, для круга [надо] исходить из прямоугольника».
Это место Чжао Цзюнь-цин комментирует весьма подробно. Сначала он замечает, что сущность вещи, называемой угольником, беспредельна. И далее подробно поясняет вторую фразу приведенной нами цитаты: «Вещи либо круглые, либо прямоугольные, числа либо четные, либо нечетные. Небесные движения являются кругами, их числа нечетные. Земной покой является прямоугольником, его число четное. Все это соответствует идее инь-ян и не есть в действительности само тело Небо и Земли. Небо (в действительности) нельзя осмотреть, Землю нельзя наблюдать целиком, как же можно определить их кругом и квадратом?» [100]. «Идея инь-ян» — идея двух противоположностей. Мы видим, что Чжао Цзюнь-цин еще в III в. н. э. понимал условность схемы древнего высказывания и хотел это подчеркнуть учащемуся. Разумеется,
67
5*
в утверждении «вещи либо круглые, либо прямоугольные» слово «круглые» обозначает «закругленные», а «прямоугольные» — «угловатые», но круг и прямоугольник рассматриваются как характерные представители этих двух видов вещей.
Любопытно, как комментирует Чжао Цзюнь-цин последнюю фразу: «Сам прямоугольник измерить просто, круг измерить трудно. Покрытие прямоугольника обычное, круг нужно много изменять. Поэтому установлена данная система правил. Метод [вычисления площади круга ] состоит в том, что полуобвод и полудиаметр, умноженные друг на друга, дают [площадь] прямоугольника, [равновеликую площади данного круга]. Можно также умножить диаметр и обвод и взять четверть. Можно умножить диаметр на себя, разделить на 4 и взять три части. Можно обвод умножить на себя, взять одну 12-ю. Поэтому говорят: »Круг исходит из прямоугольника"» [100].
