Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Китайская октава содержала 12 тонов, высота которых была определена в комментариях Чжэня. Длина свирели для исходного тона, хуан чжуна, равна 9 цуням. Следующую длину можно определить, если 9 цуней умножить на 2/3, она получается равной 6 цуням. К следующей длине приходят путем умножения на удвоенную долю, т. е. на 4/3. Тон повышается, длина свирели получается равной 8 цуням. Таким образом, чтобы получить ряд, к которому восходят тона
9, 8, 71/»,
или ряд, к которому нисходят тона
6, 51/з» ^20/27»
а также
0 104/ 71/ СЗ/
° /243» ' /2> ° /5
И
626/81> 54/7, 5,
следует умножить исходное число 9 цуней на разность геометрической прогрессии со знаменателем |/"-|- ^ 0,943. Чжэнь Луань
получает этот ряд по частям, умножая то на 2/3, то на 4/3. Получает близкие к нужным значениям длины для тонов. Весьма примечательно здесь то, что Чжэнь Луань обозначает числовые характеристики тонов порядковыми номерами «лун». Если расположить эти двенадцать его обозначений по кругу (в виде циферблата часов), то, чтобы получить тона в порядке их абсолютных значений, надо отсчитывать деления на этом «циферблате», начиная с 12, против часовой стрелки через пять делений. Получается арифметическая прогрессия с разностью 5 в конечной арифметике с модулем 12:
12,7,2; 9,4; 11,6,1; 8,3; 10,5.
Этот факт, насколько известно, не был отмечен до сих пор ни одним исследователем. Однако позже счет на «циферблате» встречается у ал-Бируни.
Чжэнь Луань приводит извлечения "из7^«Истории Ханьской династии», где в разделе о календаре сообщается еще и о других пяти октавах. Практически можно построить 10 октав, чтобы охватить все звуки, слышимые человеческим ухом. Но обычно в современной музыке пользуются семью октавами. В древнем Китае было введено пять октав и это тоже достаточно много.
60
Основной текст другого сочинения Чжэнь Луаня «Шу шу цзи и» относится к эпохе Хань и принадлежит будто бы Сюй Юю. Чжэнь Луань комментирует, по существу, совершенно несвязный, отрывочный текст, который дошел до него, и без его комментария текст был бы непонятен. В самом начале этого текста, который, весьма возможно, сохранился только на бамбуковых дощечках и с пропусками, кроме имени Хань Юя упоминается еще имя Лю Хуна. Последний известен тем, что написал книгу «Лю гуй цзи» и употребил буддийские слова типа «чана» (санскритское — миг, мгновение). Поскольку в эпоху Хань буддизм еще не был распространен, то некоторые исследователи, например Цянь Бао-цун [100, т. II, с. 531 ], полагают, что текст принадлежит не одному Сюй Юю.
Фрагменты, которые комментирует древний автор, относятся к самым различным темам. Начало, как и в «Искусстве счета в Пя-тикнижье», посвящено календарю. Древний текст малопонятен. Чжэнь Луань, споря с другими древними комментаторами, полагает, что здесь речь идет о зодиакальных созвездиях. Двадцать восемь созвездий на китайской карте были разбиты на четыре области, каждая из которых специально обозначалась с помощью названий животных. Западная часть из семи созвездий называлась «Белым тигром», его иногда в текстах называли золотым. Календарю и созвездиям посвящены другие фрагменты.
По трактату «Искусство счета в Пятикнижье» видно, что Чжэнь Луань считает необходимым объяснять вопросы комбинаторики, связанные с философской книгой «И цзин», а также системы построения больших чисел. Неспециалисты, по-видимому, путали довольно часто эти системы. В данном трактате Чжэнь Луань вновь вынужден объяснять способы выражения больших чисел. Весьма примечательно, что часть фрагментов касается счетных палочек и счетов. Если эти отрывки принадлежат Сюй Юю, то это самый ранний текст о счетных приборах древнего Китая. Напомним, что в «Математике в девяти книгах» таких упоминаний нет, хотя все сочинение написано с учетом вычислений на счетной доске при помощи счетных палочек. Однако счеты могли еще и не употребляться, они появились, по-видимому, значительно позже. Таким образом, предположения о существовании литературы, помимо ^канонических классических текстов по математике, представляется весьма справедливым.
Встречаются г и (отрывки, - касающиеся общих философских категорийДнапример Дао (понятие «Пути» в даосизме), первоосновы из пяти элементов, а также ориентации по странам света, о повозке, указывающей на юг. В одном фрагменте Чжэнь Луань поясняет известную по трактату Чжан Цю-цзяня задачу о ста птицах, в которой рассматривается неопределенное уравнение. В этом же месте обсуждается проблема об измерении расстояний до недоступных предметов — задачи, которыми интенсивно занимались древнекитайские математики (см. п. 4).
61
В тексте встречается матрица (одновременно это и магический квадрат по диагоналям, а также ряд натуральных чисел и числовые последовательности с разностью, равной 3!)
9 6 3 ся юань 8 5 2 чжун юань 7 4 1 шан юань
10. Трактат Ван Сяо-туна об уравнениях третьей 'степени
Имя Ван Сяо-туна популярно в истории китайской математики, с ним связано решение уравнений третьей степени численным способом. «Математический трактат о продолжении древних методов» («Ци гу суань цзин»), написанный Ван Сяо-туном, является единственным в своем роде, потому что ни в одном более раннем тексте и ни в одном более позднем нет кубических уравнений. Даже в сочинении Цинь Цзю-шао, содержащем специальные задачи па решение квадратных, четвертой и более высоких степеней уравнений, кубических уравнений нет.
