Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
е_а + сЬ + (1
--2~»
где а, &, с, а1 — стороны четырехугольника, следует рассматривать в качестве довольно хороших приближенных значений (рис. 21). Вместо «ширины» и «длины» брались средние арифметические двух противоположных сторон, рассмотренных как пара измерений (а, (3). Такое правило было весьма популярным, его обнаружили у всех древних народов с первоначальным развитием математических значений (см., например, [75]).
242
Со временем правила измерения площадей становятся точными за счет того, что рассматриваются только такие фигуры, как прямоугольники, треугольники, трапеции, площади которых научились вычислять. Древнекитайская «Математика в девяти книгах» показывает, что к области точных формул относили также вычисление площади круга и его частей: сектора, кольца, причем пользовались значением числа тс=3. Но площадь сегмента вынуждены были вычислять по приближенной формуле, которая свидетельствовала о том, что сегмент заменялся трапецией с таким же нижним основанием, как у сегмента, и с равными высотой и верхним основанием. В трактате пяти ведомств допускались и другие криволинейные фигуры с приближенными значениями площадей:
Ширина на одно/*/ конце
аУипина на другом конце
„ барабаны "
Ширина х о ос та
„ с?А7е/7 "
, 63и рель "
г
Ширина Ззсода
„ Рог брйЗома
„Месяц ' е
Рис. 22
кроме произвольного четырехсторонника, там указаны также «поля» в виде рога, серпа (рис. 22, д, ё), в виде барабанов с выпуклыми и вогнутыми «боками» (рис. 22, а, б), в виде свирели и змеи (рис. 22, в, г). Некоторые из них заданы тремя значениями «ширины»: двумя основаниями и средней линией («талией»); и тогда в качестве ширины бралось среднее арифметическое трех измерений [52, с. 85].
Древнекитайская классификация фигур в качестве «поля» включает также круг, что на практике вряд ли может встретиться. Однако нетрудно представить, что круглой могла быть площадь, клумба, основание зернохранилища, часто имевшего цилиндрическую форму. Следовательно, требовалось правило нахождения площади круга, а также его частей, примыкающих к окружности. Они назывались по-древнекитайски «кривое поле» (ванъ тянъ), т. е. сектор; «поле в виде лука» (гуй тянъ), «дырявое поле» (хуай тянъ), т. е. кольцо. Такие термины прочно вошли в обиход и употребляются до сих пор с той разницей, что вместо иероглифа «поле», как упоминалось выше, употребляется син. Древние китайцы, как и греки, называли окружность словом «обвод», которое означал также и часть окружности. В определении площади круга -самым примечательным было то, что задавались две величины: «обвод» и диаметр. Вниманию вычислителя предлагались четыре
243
16*
формулы, методически перечисленные в «Математике в девяти книгах». Первой из них было произведение полупериметра круга на половину диаметра. Остальные были вариантами этой формулы. Как указал еще комментатор «Математики в девяти книгах» Лю Хуэй, первая формула устанавливала равенство площади круга с площадью прямоугольника, сторонами которого являются полуокружность и радиус. Древнее задание круглого поля сопровождалось заданием двух величин, хотя было известно, что они зависимы (величины задавались в предположении, что тс—З). Причиной задания избыточных данных были потребности измерения; с этой точки зрения было безразлично, рассматривать круг или сектор, отсюда один термин «обвод» и для дуги и для окружности. По той же причине первоначально не было понятия радиуса, оно появилось позже и было производным от диаметра. В современном китайском языке радиус и до сих пор называется банъцзин — «полудиаметр». В древних же правилах и задачах говорится только о диаметре, и деление его пополам указывалось особо всякий раз. Отметим, что формула произведения полудиаметра на полуокружность отличалась от формулы четверть произведения диаметра на длину окружности.
Приведем одну задачу из «Математики в девяти книгах»: «Имеется круглое поле, обвод его в 30 бу. Диаметр 10 бу. Спрашивается, каково поле?» [50, с. 445]. Остальные задачи с более сложными дробными числами.
Таким образом, казалось бы, самые простые понятия круга, радиуса, прежде чем стать вполне абстрактными, прошли долгий путь развития. Практические задачи получали математическую обработку, их классифицировали в зависимости от методов решения, и в этом процессе выкристаллизовывались понятия геометрических фигур и тел.
Что касается геометрических тел, рассматриваемых в древности, то их названия были вполне сопоставимы с названиями конкретных сооружений или предметов: «беседка», «сцена-помост», «шило», «клин» и др. В китайской «Математике в девяти книгах» тела описаны парами: параллелепипед и цилиндр, пирамида и конус? усеченные пирамида и конус, а также различные виды призматоидов и, конечно, сфера.
2. Вычислительные задачи. Приближения
Самыми древними задачами, которые приводят к рассмотрению геометрических тел, являются расчетные задачи древних «инженеров». В древних речных цивилизациях приходилось подсчитывать объемы таких сооружений, как дамбы, плотины, насыпи, крепостные стены, каналы и рвы. Их представляли в виде некоторого призматоида заданной «длины», у которого в сечении была трапеция, т. е. фигура с «верхней» и «нижней шириной», «высотой» или «глубиной» — в зависимости от характера соору-
