Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, задана фигура (рис. 18), составленная из пары равнобедренных треугольников с общим основанием, с площадями St и S2, т. е. известны а=39, 6=25, йх=30. Следует определить площадь фигуры
I
S = S1 + S2—Ydid2, где hx-\-h2 = d2.
232
Вычисления здесь могли быть простыми:
Д1 = ч/392— 152 = 36, /г2 = >/252 — 152 = 20, й2 = 36 +20 = 56,
5 = у 30- 56 = 840.
Ответ получен однозначно.
Однако Цинь Цзю-шао предлагает другое решение. В наших обозначениях оно выглядит следующим образом.
Пусть 5=5!+5а, тогда 82=а+281Я2, где а =81+31
Еще раз возведем в квадрат:
((52_а)2=45252)
ИЛИ
?4 — 2ос52 4- а2 — 4^2 = 0,
Если положить 5^—?|=Р, то величина а2—4#^ = р2, и тогда
?4-2а52+Р2=0,
где неизвестная величина 5 является корнем уравнения, наибольшим положительным, т. е. выбранным «дважды с плюсом». Четыре корня уравнения выражаются формулой:
5= ± Уа~±^Т^= ± У381600 ± ^3816002 — 20~16002' =
= ± у/381600 ± 324000, 5'= ±840, У =±240.
Отрицательные корни не имеют смысла, меньший положительный корень не подходит по условию задачи. Математики XIII в., насколько известно историкам, полагали, что уравнение любой степени имеет один корень. Имеются сведения, что в Китае множественность корней у нелинейных уравнений впервые отметил лишь математик XV в. У Цзин в книге «Полная классификация математических методов сочинения в девяти книгах» (Цзю чжан суанъ фа би лэй да цюанъ).
Действительно, в тексте описано именно такое уравнение четвертой степени, правда, с противоположными знаками:
<~?4+2ос?2—р=0;
Цинь Цзю-шао описал алгоритм коэффициентов этого уравнения и вычислил их. Текст задачи содержит еще подробные схемы вычислений. Схемы снабжены подробными пояснениями каждой операции с числами таблиц, каждая из которых эквивалентна записи уравнения в наших обозначениях.
233
«Способ: взяв [метод] шао-гуан, ищи это. Примени метод фань. Установи половину ширины, саму на себя умножь, это квадрат половины. Вычти его из квадрата малой наклонной, перемножь, это малый коэффициент. Квадрат половины вычти из квадрата большой наклонной, перемножь, это большой коэффициент. Вычти один из другого, остаток сам на себя умножь, это делимое. Сложи оба коэффициента, удвой, это цзун шан лянь. В качестве и юй возьми единицу. Извлеки методом^фань трехкратный корень, получишь площадь».
Указание в первой фразе на метод шао-гуан свидетельствует о том, что автор рекомендует для решения задачи применить метод Горнера. Термин древний употреблялся еще в «Математике в девяти книгах» для названия класса задач на извлечение корней, а также задач на прямоугольники, у которых заданы (одна и та же) площадь, равная 1, и одна из сторон; требуется найти другую сторону, причем заданная сторона постепенно увеличивается, а искомая соответственно уменьшается — отсюда его название, которое в переводе обозначает «уменьшение-увеличение». Для численного метода решения уравнений высших степеней Цинь Цзю-шао заимствует именно этот термин, а не общепринятый в дальнейшем термин тянъ юань шу («метод небесного элемента»), хотя название «небесного элемента» встречается в этой же книге, но относится к другому методу.
Последняя фраза правила говорит об «извлечении» корня четвертой степени. К этой фразе сделано примечание: «Если корень извлекается из однопозиционного числа, то метод фань употреблять не надо».
В наших обозначениях алгоритм представляется таким. Сначала вычисляются квадраты площадей ?2 и ?§, они называются соответственно «малым» и «большим» коэффициентами. Мы не будем здесь цитировать вычисления и схемы, приведенные у Цинь Цзю-шао, поскольку текст понятен, а вычисления представляют собой описание последовательных действий: ^/2=15, (й1/2)2=225, &2 = 625, й|=400, 5|=й| (^/2)2=90000 и т. д.
При помощи вычисленных малого и большого коэффициентов далее вычисляются «делимое» (З2 (или свободный член уравнения), цзун шан лянь 2а (коэффициент при квадрате неизвестного) и полагается равным 1 коэффициент при 4-й степени неизвестной:
р2 = (?» _ ?2)2 — 40642560000, 2а = 2 (Я2 + Я2) = 763200.
Итак, мы получили такое же уравнение, как в нашей реконструкции, только ^противоположными знаками:
—я4+763200я2-40642560000 = 0,
где Относительно знаков Цинь Цзю-шао пишет — это един-
ственное место во всей книге, где он говорит о знаках:
«Схемы положительных, отрипательных [знаков] при извлечении корня четвертой степени.
234
Способ: частное обычно положительно, делимое обычно отрицательно, „цзун," обычно положительно, „и" обычно отрицательно».
Таким образом, «цзун» означает здесь и всюду далее положительный знак величины, а «и» — отрицательный. Исходная схема для составленного уравнения такая (табл. 33).
Здесь знаки мы поставили современные: в тексте же, которым мы пользовались, стоят соответственно иероглифы «цзун» и «и». Но китайский историк Ли То
свидетельствует, что в ориги- Таблица 33
нале у Цинь Цзю-шао числа были написаны тушью разного цвета: положительные — красной, отрицательные — черной.
Алгоритм извлечения корня, или нахождения корня уравнения, начинается следующей рекомендацией.
