Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
С точки зрения древнего математика, интуитивно (явных определений мы, конечно, не найдем) под площадью и объемом понималась некоторая числовая характеристика. Мы уже упоминали,
что долгое время для площади и объема существовал один термин. Измерить площадь фигуры ' означало вычислить, сколько единиц элементарной площади содержится в ней. Такой процедуре посвящена, например, задача 9 средней книги метрологического трактата Сунь-а Л цзы:
Рис. 30 «Имеется фундамент дома, [у кото-
рого] с юга на север 3 чжана, с востока на запад 6 чжанов. Если его выложить кирпичом так, что всякий раз на площади в 2 [кв.] чи укладывается 5 штук кирпичей, то спрашивается, сколько всего потребуется?» [49, с. 30 ].
Площадь прямоугольника АВСО (рис. 30) выражается фактически трижды. Сначала пользуются формулой для прямоугольника 8=АО*АВ=18 [кв.] чжанов—1800 [кв. ] чи. Далее площадь выражается числом малых прямоугольников с площадью в 2 кв. чи: .5=900 штук. Полагаясь на другие геометрические задачи, мы считаем, что площадь в 2 кв. чи представляли в виде прямоугольника, подобного данному, одна сторона которого в два раза больше другой, оо=2|3, где (3=1 чи. И в третий раз площадь заданного прямоугольника была выражена следующим образом: 5=4500 штук кирпичей, поскольку на каждых 2 кв. чи умещается 5 кирпичей. Правда, по правилу дается другая по-
„ 6 • 3 . 100 - 5 7гЛЛ следовательность действии: -^--—4500, но тем не менее подобные рассуждения о вычислении площади очень вероятны.
Задача 15 этой же книги сочинения Сунь-цзы указывает, что аналогично рассуждали при действиях с объемами:
250
«Имеется деревянный куб со стороной в 3 чи. Он распиливается на кубики со стороной в 5 цуней. Спрашивается, сколько получится кубиков?» [49, с. 30].
По этим задачам видно, что существовало достаточно развитое представление о квадрировании и кубировании. Следует отметить, что при этом преодолевали большую инерцию других менее абстрактных понятий. Еще во времена Сунь-цзы в III в. н. э. утверждены были единицы емкости и объемы выражались мерами сыпучих тел. Например, следовало определить объем зернохранилища определенного вида, который окончательно выражали не в кубических единицах, а в единицах емкости. В книге V «Математики в девяти книгах» выделена особо группа задач 23—25 на груду зерна, хотя конус уже был представлен до нее. Вот одна из них:
«На земле имеется куча проса. Нижний обвод 12 чи, высота 2 чи. Спрашивается, каков объем и сколько проса [в куче] » [50, с. 447]. Характерны числа в ответе: объем равен 8000 чи (число подобрано), проса в куче будет 296226/27 ху. Для перехода от кубических единиц к мерам емкости указан коэффициент: «Емкость [одного] ху проса 2 чи 7 цуней» [50, с. 478]. По словам комментатора Лю Хуэя, этот коэффициент надо читать так: для проса меры в 1 ху нужен объем параллелепипеда с основанием в 1 кв. и высотой 2 чи 1 цуней. Такова древняя скрытая размерность, которой, как кажется на первый взгляд, древние пренебрегали. На самом деле, обозначая линейными единицами площадь и объем, подразумевали двумерные или трехмерные единицы. Однако они представляли собой не квадраты и кубы, а полоски и бруски, характеризующиеся некоторой длиной и единичной стороной или площадью, на которых они построены. Заметим, что квадратная верста (кв. ли) специально определялась в задаче 3 книги I «Математики в девяти книгах».
Задача, которую мы сейчас приведем, показывает, как древние на первых порах скрупулезно отделяли понятие емкости от понятия объема. Книга V, о которой выше упоминалось много раз в связи с объемами, начинается следующей задачей:
«Имеется земляная яма в 10000 чи. Спрашивается, сколько будет утрамбованной и взрыхленной земли, каждой в отдельности?» [50, с. 471].
Обычный с точки зрения древнего чиновника вопрос, а вот ответ особенно интересен:
«[Объемы] выкопанной ямы, взрыхленной земли, утрамбованной земли и вынутой земли относятся как 4:5:3: 4. Взяв [объем] выкопанной ямы, ищи [объем] взрыхленной земли, разделив на 4/5. . .». [Там же].
251
Глава вторая
теорема пифагора
Прямоугольные треугольники были выделены древними из треугольников вообще. Задолго до Пифагора было известно, что
а2 + &2 = с2,
где а, Ъ — катеты, с — гипотенуза прямоугольного треугольника. Хотя в сохранившихся папирусах мы не находим этого соотношения сторон прямоугольного треугольника, древним египтянам, по свидетельству древних греков, был известен прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 — так называемый египетский треугольник. В клинописных же текстах древнего Вавилона зафиксировано применение этой теоремы в общем виде, стоявшей в центре внимания древневавилонских математиков [57, с. 54; 17].
6. Древняя формулировка теоремы. Доказательство Чжао Цзюнь-цина
В историко-математической литературе называют самые разные даты появления теоремы Пифагора в древнем Китае, и часто весьма ранние. Происходит это оттого, что сами тексты датируются по-разному и часто неточно.
Первое письменное свидетельство о теореме Пифагора мы находим в «Математическом трактате о гномоне». Согласно этому тексту еще в XII в. до н. э., а может быть и ранее, древние китайцы знали о прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4, 5 и по крайней мере к VI в. до н. э. располагали теоремой в общем виде. Вот древний текст:
