Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Отметим прежде всего те задачи книги IX «Математики в девяти книгах», решение которых непосредственно выполняется по данным выше алгоритмам. Древнему вычислителю следовало в этих задачах лишь правильно установить, какие величины надо было взять в качестве катетов гоу я гу ж в качестве гипотенузы (сянъ), одна из них вычислялась.
Самая важная задача в этой группе — нахождение диагонали прямоугольника или квадрата по их сторонам, которая в древности представляла классическую задачу определения диагонали единичного квадрата (или вычисление корня из 2). Эта задача позволяла древним грекам сделать открытие несоизмеримых величин, получить первое иррациональное число; корень из 2 достаточно точно вычисляли еще древние вавилоняне. В древних китайских текстах для этой величины указывается отношение 7 : 5. Оно содержится в трактатах Сунь-цзы, Сяхоу Яна среди других табличных значений величин, сразу же после приближенного значения числа тс: «Сторона 5, диагональ 7». Это изречение поясняется алгоритмом: «Дана диагональ, находится сторона: [для этого] раздели [ее] на 7/5 и возьми 1. Дана сторона, нахо-
1/2 17 Э. И. Березкина 257
дится диагональ: [для этого] раздели [ее] на 5/7 и возьми 1» [49, с. 23] (рис. 41). Здесь «диагональ» (се) буквально «косая». Этот термин употреблялся не всегда, по-видимому, он еще не вполне утвердился. «Сторона» обозначена, как обычно, иероглифом фан. Тот и другой термины употреблялись в классической «Математике в девяти книгах» (см., например, в задаче 12 книги IX) [50, с. 509]. Иногда для диагонали пользовались просто описанием: «наибольшее расстояние между углами» (лян сэ сянъ цюй) — имеется в виду: прямоугольника (см., например, задачу 11 книги IX [50, с. 508—509]). Не называют диагональ словом се и в задаче 14 средней книги трактата Сунь-цзы, где диагональ называется «удвоенным расстоянием от угла квадрата до его центра» (цзун юэ чжи цао) [49, с. 30].
Рациональное приближение отношения стороны квадрата а к его диагонали равное 5 : 7, применялось и у других древних народов. Например, в «Государстве» Платона число 7 называется «рациональной диагональю», соответствующей стороне 5.
Как было получено это приближение в древнем Китае, неизвестно. Поскольку китайцам был известен алгоритм Евклида, то возможно, что это приближение было найдено при помощи этого алгоритма, примененного к отысканию наибольшей общей меры а и d [57, с. 177]. Однако возможно, что 7/5 было получено просто как значение ^2 = V2OO/10» 14/10 = 7/5.
Приведем задачу 14 средней книги трактата Сунь-цзы: «Имеется квадратное поле. В центре его растет тутовое дерево. От угла до тутового дерева 147 бу. Спрашивается, каково поле?» [49, с. 30]. О решении этой задачи говорится: «Установи 147 бу от угла до дерева, удвой это, получишь 294 бу. Умножь это на 5, получишь 1470 бу. Раздели это на 7, получишь 210 бу. . .» [49, с. 30].
Таким способом древний вычислитель находил значение стороны квадратного поля, по которой находил и его площадь.
Более сложные задачи получались при помощи обращения. К ним относятся задачи «о дверях», имеющих вид прямоугольника (рис. 42), помещенные в книге IX «Математики в девяти книгах» (задачи 11 и 12 книги IX [50, с. 508—509]). В первой из них известна диагональ прямоугольника z, определяются его стороны: «ширина» я, «высота» у. Задача сводится к решению системы уравнений:
Z2 = х2 + у2, к = у — х,
так как известна разность к «высоты» и «ширины» двери. Таким образом, обращение задачи сразу же приводит к полному квад-
258
ратному уравнению
2х2+2кх+к2—г2=0, к которому и сводится данная выше система.
Задача сопровождается общим правилом: «Правило: 1 чжан умножь на себя, это ши, половину избытка умножь саму на себя, удвой, вычти из ши, возьми половину остатка, извлеки квадратный корень из него, из полученного вычти половину избытка, это и будет ширина двери. Прибавь половину избытка, это и будет высота двери» [50, с. 509]. В наших обозначениях это правило представляется формулами
х = у
•2 (/с/2)2 к ~~2 2
к
-2 (/с/2)2
2
«делимым», а к
Рис. 42
где г* называется ши «избытком».
Правило, как видим, лаконично и четко сформулировано в общем виде доступным древним способом. Каким способом были получены такие «формулы»? Возможно, одним и тем же приемом, каким пользовались,
как полагают многие историки математики, Диофант и задолго до него древние вавилоняне.
Пусть искомые величины, поскольку задана их разность, выражены с помощью новой неизвестной t, являющейся их средним арифметическим:
к_
х — г 2 ,
к
Этот метод часто применялся в древних цивилизациях. По условию задачи
х2 + у2 = 212 + 2 (к/2)2 = г2. Отсюда определяется введенная неизвестная
_ 1 А2 — 2 (/с/2)2
как раз по алгоритму для катета по известной гипотенузе и другому катету. Далее легко находятся искомые величины.
Вторая задача о двери книги IX «Математики в девяти книгах» (задача 12) сводится к решению системы (см. рис. 42)
Отсюда
22 = (2
Х — Ъ — Я,
y = z — bi ъ2 — х2^- у2.
259
17*
или
и — (а+Ь)]2=2аЬ.
