Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
«Способ перешагивания [по разрядам].
[Числом] цзун лянь перешагни через один разряд, [числом] и юй перешагни через три разряда, раздели частное, получишь десятки. Теперь вновь перешагни по разрядам влево, и тогда в частном установи сотни. [В строке] цзун шан глянь будет 7632000000, [в строке] и юй будет 100000000. Раздели делимое, установи в частном 8 сотен, это фиксированное частное».
После таких передвижений чисел в два приема по разрядам получается схема (табл. 34).
0 частное
—40642560000 0 763200 0 —1 делимое сторона цзун шан лянь пустой ся лянь и юй
Таблица 34
800 частное
—40642560000 00 7632000000 0 —100000000 делимое сторона шан лянь ся лянь и юй
Заметим, что у Цинь Цзю-шао предыдущая схема отражает движение по разрядам на первом шаге. Движение цифр по разрядам означает подстановку #=100 у, от которой получается уравнение
-100000000г/4+ +7632000000г/2— -40642560000=0.
Такая подстановка производится для того, чтобы корень уравнения можно было представить однозначным числом, которое следует определить подбором из ряда 1, 2, 3, . . ., 9. Таким образом, если заданное уравнение имело трехзначный корень х=аха2а31 то это уравнение будет иметь корень у=а1,а2,а3, целая часть которого по предположению равна 8. Далее осуществляем подстановку у=8+2 и переходим к уравнению
ф(*)=0,
коэффициенты которого и находятся по схеме Горнера. А затем снова подстановкой г = 10и переходим к уравнению С (и)=0, У к°-
235
торого целая часть корня снова однозначна и опять-таки находится подбором: и = а2,а3.
Теперь изложим задачу, о которой историки науки всегда упоминают, когда говорят о Цинь Цзю-шао. В этой задаче решается уравнение 10-й степени, самой высокой степени, которая встречается у этого автора.
Условие этой задачи является обобщением задачи 20 книги IX «Математики в девяти книгах», о которой выше подробно написано (см. § 15 этой главы).
«Измерение круглой городской стены издалека. Задача о круглой городской стене неизвестного обвода и диаметра. Четверо [ее!
ворот просматриваются из центра. За северными [воротами] вне [города] в 3 ли [от них] имеется высокое дерево. [Если] выйти из южных ворот и, повернув на восток, пройти 9 ли, [то] тогда можно увидеть дерево. Как узнать обвод и диаметр стены? Ответ: Диаметр 9 ли, обвод 27 ли» [105, с. 183, задача 2 свитка VIII ].
Примечание к вопросу в задаче: «Для круга применить древний метод», что означает употребить число тг=3 (рис. 19).
Уравнение составляется следующим образом:
«Способ: ищи это с помощью гоу-гу и ча-люй. В качестве цзун юй возьми 1. Упятери [число] ли за северными [воротами], это будет цзун ци лянь. Установи квадрат [числа] ли возле северных [ворот], увосьмери, это будет цзун у лянь. Квадрат [числа] ли [возле] северных [ворот] будет положительным коэффициентом. Взяв квадрат ходьбы на восток в качестве отрицательного коэффициента, разность двух коэффициентов учетвери, умножь на [число] ли у северных ворот, это будет и цзун сань~1лянь. Удвой отрицательный коэффициент, умножь на у лянь, это будет и шан лянь. Северные ли умножь на шан лянь, это будет делимым. Извлеки корень 9-й кратности, получишь число. Умножь его на себя, будет диаметр. Утрой диаметр, получишь обвод» [Там же]. _
Сразу же отметим, что здесь делимое вычисляется последним. Названия коэффициентов уравнения
я10+15я8+72я6-864^-11664я2-34 992=0,
где корнем является #=3 и х2=0, следующие: цзун юй, коэффициент при х10: 1; цзун ци лянь, коэффициент при х8: 56 = 15, цзун у лянь, коэффициент при х6: 8Ь2=72, и санъ лянь, коэффициент при #4: 4 (Ь2—а2) #=864, и шан лянь, коэффициент при х2: 2а2-86^=—11664, ши, делимое, свободный член х°: Ь (16а262) = —-34992.
236
Напомним, что здесь цзун — отрицательное, и — положительное, величина —а2 названа отрицательным коэффициентом, Ъ2 — положительным коэффициентом, при вычислениях специально отмечается, что разность Ъ2 — а2 = — 72 является отрицательной разностью (фу ча). В схемах возле чисел словами всякий раз пишется иероглиф для знака. Например, в одной из схем: положительное — чжен, отрицательное — фу, пусто — сюй.
Заметим, что в этой задаче схемы вычисления коэффициентов уравнения явно отделены от схем извлечения корня, т. е. нахождения корня уравнения. В тексте сказано: «схемы, указанные выше, связаны с отысканием коэффициентов; схемы, следующие ниже, связаны с извлечением корня».
Название «Метод небесного элемента» (тянь юань ту) закре-пилось в китайской математике за методом численного решения уравнений высших степеней. Впервые мы находим этот термин в сочинениях Ли Е: «Морское зеркало измерений круга» и «И гу янь дуань». Ли Е употребляет термин «тянь-юань» в качестве неизвестного, которое мы теперь обозначаем символом х. Таким образом, в своем первоначальном смысле «тянь-юань шу» обозначал метод составления уравнений по данным задачи, а не метод-получения корня уравнения, который в древней китайской математике назывался шао-гуан. Напомним, что в «Девяти книгах по математике» Цинь Цзю-шао термин тянъ-юанъ употребляется в части, посвященной решению задач с остатками (системы сравнений по модулю), и имеет там свое значение. В местах, где применяется метод Горнера, этого термина нет и правило названо шао-гуан. Такое название носит книга IV в «Математике в девяти книгах», она посвящена извлечению квадратных и кубических корней.
