Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
«Если же в угольнике принять ширину — катет гоу за 3, и принять длину — катет гу за 4, то поперечина, [соединяющая концы] угла, будет равной 5» [100, с. 14].
Как свидетельствует трактат, такую древнюю формулировку услышал Чжоугун Дань из уст сановника Шан Гао, который ссылается на еще более древнее время, когда легендарный Фуси (III тыс. до н. э.) «управлял Поднебесной с помощью чисел» [Там же].
Здесь употреблена древняя терминология, сохранившаяся и в дальнейшем. Основной термин древнего «искусства вычислений» — это «угольник» (цзюй). Плотничий угольник состоит из двух соединенных под прямым углом линеек (рис. 31). Его использовали для измерения расстояний до недоступных предметов. В этом случае он устанавливался так, что вертикальная сторона его была фиксированной и равной /г, а на горизонтальной стороне откладывалась проекция наблюдаемой точки на расстоянии, равном а, от угла. В данном тексте термином цзюй обозначен, по существу, прямоугольный треугольник, а его катеты названы терминами гоу и гу. Все эти термины прочно закрепились в древне-
252
китайской математике и сохранились до наших дней. Если древние авторы хотели указать на соотношение сторон в прямоугольном треугольнике, то они говорили кратко «метод гоу-гу».
Катет гоу (буквально «крюк») — горизонтальный — всегда меньший катет. Катет гу (буквально «бедро», берцовая кость) — вертикальный — всегда больший катет; в древних текстах не существовало общих терминов «катет» и «сторона», стороны прямоугольника называли «шириной» и «длиной» с учетом ориентации фигуры относительно вычислителя. Гипотенуза здесь называется «поперечной угла» (цзин цзюэ); слово цзин обозначает также диаметр (поперечник) круга. В более поздней «Математике и девяти книгах» уже более четкая терминология: катеты именуются гоу
\
\
\
Рис. 32
и гу, гипотенуза — сянъ — «тетива». Диаметр круга — цзин, а употребляется также полудиаметр (радиус) — бань чжи цзин я бань цзин.
Совпадение названий для гипотенузы и диаметра круга, по-видимому, возникло не случайно. В древнекитайской символической конфигурации (рис. 32), объясняющей, по мнению древних, происхождение чисел, или науки о числах, диаметр круга действительно является одновременно и диагональю прямоугольника и оба они — «поперечники» этих фигур. Заметим, что греческое слово «диаметрос» и арабское слово «кучр» также обозначают и диаметр круга и диагональ прямоугольника.
Далее в трактате о гномоне говорится: «Прямоугольник, вокруг которого описан круг, делится на два угольника со сторонами 3, 4, 5» [100, с. 14]. Как мы видим, Шан Гао, как и Фалесу, было известно свойство угла, опирающегося на диаметр.
В конце этого древнего текста, содержащегося в трактате о гномоне, говорится: «Площади этих двух квадратов, построенных на катетах гоу и гу, в сумме составляют 20 и 5, это и есть площадь квадрата, построенного на гипотезе треугольника». [Там же]. Здесь же в переводе мы ради простоты применили современную терминологию. Древний же термин для круга, ставший частью современного термина, — юань, для прямоугольника — фан. Последний термин может также обозначать и квадрат как частный случай прямоугольника (либо сторону квадрата или куба).
Благодаря рассмотренной выше древней терминологии мы приходим к выводу о том, что понятие прямоугольного треуголь-
253
ника также происходит из измерительной практики. Сами катеты гоу и гу указывают на ориентацию фигуры относительно измерителя или вычислителя. Весьма возможно, что в древности гномоны изготовлялись из берцовых костей.
В дальнейшем, например у составителя математической* «Десятикнижья» Чжэнь Луаня, пояснявшего древние тексты, встречается специальное выражение для простейшей тройки пифагоровых чисел 3, 4, 5: «нормальные коэффициенты» (цзы чжи люй). Он же приводит из «Книги установлений» («Лицзи») III в. до н. э. пример вычисления размеров покрытия повозки^ имеющей форму, указанную на рис. 33. Высота h находится
1 _
f X N /
>
ч /
/
/ >
Рис. 34
Рис. 35
по правилу так: /&=\/16—4=\/12 ^ 3 3/7, где корень найден по известной древним интерполяционной формуле.
Второй диалог, точнее монолог, Чэнь-цзы, объясняющего своему ученику древнюю астрономию и принципы вычислений, содержит большой материал, а также и большой комментарий Чжао Цзюнь-цина от III в. н. э. Здесь, в частности, описывается чертеж, более общий, чем приведенный нами (рис. 34, 35). Эта обсуждение считают первым письменным доказательством теоремы Пифагора в истории китайской математики; этот же чертеж позже находят у индийских математиков. Терминология, к которой прибегает Чжао Цзюнь-цин, весьма схожа с терминологией, применяемой его современником Лю Хуэем, основным комментатором классической «Математики в девяти книгах».
Обратимся снова к конфигурации «квадрат со вписанным в него кругом» (см. рис. 32). Квадрат, сторона которого равна диаметру круга, равновелик квадрату, описанному около этого круга. Он равен по площади сумме площадей квадратов, построенных на катетах любого из двух прямоугольных треугольников, для которых диаметр является общей гипотенузой. Этот древний комментарий, рассмотренный в книге Цянь Бао-цуна [110, с. 57—60], мы излагаем в современных терминах по древнекитайскому тексту Чжао Цзюнь-цина.
