Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> История -> Березкина Э.И. -> "Математика древнего Китая" -> 107

Математика древнего Китая - Березкина Э.И.

Березкина Э.И. Математика древнего Китая — М.: Наука, 1980. — 312 c.
Скачать (прямая ссылка): berezkina1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 131 >> Следующая

а а
Рис. 25. Тело цзянъ-ду Рис. 26. Тело чу-мэн
После основных тел приводятся вычисления объемов призм разных видов, которые производились при помощи разбиения на составляющие части. При этом нельзя было обойтись без тождественных преобразований и принимаемого интуитивно постулата о том, что сумма объемов частей равна объему целого.
Например, объем трехгранной призмы—дела, которое напоминает стену у крепостного рва цзянъ-ду, изображенного на рис. 25,
вычисляется по формуле У1=-^аШ, где значения букв указаны на чертеже. Эта призма разбивается на две пирамиды: ян-ма, т. е. бита из кости рысака (в основании прямоугольник со сторонами а и I), и бе-нао, т. е. черепашья кость такой формы (в основании треугольник с катетами а и К). Объемы этих пирамид соответственно даны в предыдущих задачах: У2=~а/А, Уг=~ аЫ.
Согласно комментариям Лю Хуэя эти объемы определяются, если дополнить трехгранную призму до параллелепипеда, в частном случае до куба, объем которого указан в задаче 8 книги V
1
«Математики в девяти книгах». Итак, У1=УГ2+У3, 72 =-^-У; У3= 1 1
V, Уг = у V. Отсюда следует, что тело в виде правильной усеченной пирамиды и вообще тело чу-тун (стог сена) типа обелиска (неправильная усеченная пирамида с основаниями в виде прямоугольника) может быть разделено на параллелепипед, четыре цзянъ-ду (стены), четыре ян-ма (биты) и еще небольшой парал-
247
лелепипед — брусок. Но возможно, обелиск разбивали по-другому. Для этого достаточно провести плоскость сечения через два противоположных ребра верхнего и нижнего оснований. Объемы таких тел, которые по-китайски называются чу-мен (черепичная крыша), вычислять умели. Правило для него указано в задаче 18 книги V «Математики в девяти книгах»: «Удвой нижнюю длину, присоедини верхнюю длину, умножь на ширину, еще умножь на высоту, разделив на 6, возьми 1 раз». Это правило выражается формулой
Т7_ (211 + 12)аН У — 6
(размеры указаны на рис. 26). Объем этого тела мог быть
Рис. 27. Тело цюй-чи Рис. 28. Тело сянь-чу
вычислен и как сумма трех тел: двух ян-ма (биты) и одной цзян-ду (стены) или как сумма двух тел: бе-нао (черепашьей кости) и ян-ма (биты). Следует указать, что в последнем случае вопреки Лю Хуэю надо считать, что у ян-ма (биты) и бе-нао (черепашьей кости) более общий вид: две, а не три грани совместного тела чу-мэн (черепичная крыша) перпендикулярны друг другу.
Что касается тела цюй-чи (изогнутый ров), то оно типа обелиска, но изогнутое. Не нарушая общности предложенной формулы:
у_ (2д1 + Д2) + (?«2 + а\) Ь2 и
6
при а! = (С1 + с1)/2, ^ = (1^:] а2 = (С2 + с2)/2, Ь2=й2 (рис. 27), можно также полагать, что это — тело, похожее на полый усеченный конус.
Для полноты анализа древнекитайских материалов укажем, что в книге V «Математики в девяти книгах» вычислен объем клинообразного тела сянь-чу (восхитительная ступенька) по формуле
У=±Ща + Ь + с),
¦248
где линейные размеры указаны на рис. 28. Возможно, что ©та формула^была получена таким образом:
4. Площади
С вычислением площадей дело обстояло аналогично. В книге I «Математики в девяти книгах» сформулированы правила вычисления площадей для основных фигур: прямоугольника, треугольника, трапеции, круга и его частей: сектора, сегмента, кольца. Вероятно, предполагалось, что остальные фигуры, в том числе параллелограмм, могут быть составлены из простейших. В основе определения площадей также лежал интуитивный постулат о том, что сумма площадей частей равна площади целого. Правила вполне совпадали с современными формулами, если только полагать 7г=3. Исключение составляет формула для площади сегмента: 5=1/2 (к2+ак)у где а — основание сегмента, к — его высота (см. рис. 17).
Принимая площадь прямоугольника за постулированную (единица площади определена и установлена в задаче 1 книги I «Математики в девяти книгах»), Лю Хуэй в своих комментариях приводит вывод формул площади треугольника и трапеции с помощью принципа дополнительности (ин пу чу) («добавить-убавить»), т. е. достраивает эти фигуры до прямоугольника, как достраивали — мы видели в предыдущем параграфе — призму или пирамиду до параллелепипеда. Очевидно, произвольные треугольники и трапеции могли быть составлены из прямоугольников, как показано на рис. 29. При выводе формул для площадей фигур при этом необходимы тождественные преобразования. Ясно, что для треугольника и трапеции нужны дополнительные построения:
Рис. 29
5треуг = 1 (25х + 2?2) = 1 (а - х) Ъ + 1 хЪ = 1 об, ^рап = ^ + ?+? = ^ + т(^ + ^) = Ф^
где хг-{-х2—а—Ъ.
249
5. Древние понятия площади и объема
Каковы^были понятия площади и объема в древности? Конечно, они не были основаны на понятиях современного математического анализа, но все же были достаточно абстрактными категориями, связанными с понятием геометрической фигуры или тела, отвлеченными от конкретных объектов, с которыми человек имеет дело. Каким образом это происходило, мы видели в предыдущих параграфах.
По-видимому, первичным понятием, связанным с реально существующими вещами, была емкость, а понятия объема и даже площади были вторичными, производными от первого. Емкость сосуда для сыпучих и жидких тел — вот что прежде всего интересовало древнего математика. За единицу измерения площадей принимался участок земли, на который высевалась стандартная мера зерна.
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 131 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed