Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Глава первая
измерение площадей и объемов
1. «Измерение полей». Древняя классификация фигур
Наше слово «геометрия» происходит от греческих слов «reo» — «земля», «метрео» — «измеряю» и обозначает «землемерие». В древнекитайских источниках аналогом этого термина является выражение фан тянъ — «измерение полей». Так именуется книга I классической «Математики в девяти книгах», посвященная нахождению площадей различных геометрических фигур [50, с. 445]. Китайский иероглиф тянъ изображает поле, разделенное оросительными каналами, а в математических текстах обозначает плоскую фигуру и ее площадь. Древнекитайские задачи на измерение полей заканчиваются стандартным вопросом: «Спрашивается, каково поле?», не содержащим специального термина «площадь». Происходит это потому, что общего термина «площадь» еще не было; слово «поле» выступало в роли такого термина, но только отчасти. В древнекитайских правилах, описывающих отыскание площади плоской фигуры, употребляется также термин цзи — «груда,
240
совокупность», в математическом тексте его можно перевести как «произведение» заданных линейных размеров (сторон, высот и др.), он употребляется также для обозначения объема тел. Заметим кстати, что древнекитайские тексты не фиксировали размерности единиц: ни квадратных, ни кубических. Это показывает, что термин цзи для площади или объема возник среди вычислителей. В дальнейшем им долгое время пользовались, и он вошел в современный язык: «площадь» — мянъцзи, буквально «плоское произведение», объем — тицзи, буквально «объемное произведение».
Еще в древности термин цзи вызывал различное толкование. Лю Хуэй в комментариях к книге «Измерение полей» «Математики в девяти книгах» писал: «Это цзи означает площадь поля [тянъ ми], если перемножить ширину и длину, то получишь площадь [ми]» [100, т. I, с. 67]. Лю Хуэй предпочитал пользоваться термином ми — «поверхность, покрывало», который впоследствии Ван Сяо-тун применял для квадрата числа.
С площадью фцгуры в древности была связана и классификация фигур. Она была проведена на основе вычислительного принципа, хотя названия фигур брались не только из землемерия, но и из других областей жизни (например, по-китайски треугольник назывался «фигурой в виде яшмы», а сегмент круга — «луком для стрельбы»).
В древней классификации за основную фигуру был принят лрямоугольник, у которого было достаточно простое и в то же время общее правило для вычисления площади: произведение его сторон, или, в древних терминах (как китайских, так и вавилон-<жих), «ширина», умноженная на «длину». Квадрат рассматривался как частный случай прямоугольника. В китайских задачах из «Математики в девяти книгах», где собран наиболее древний материал, как прямоугольное, так и квадратное поле названы просто чшолем». В трактате V в. н. э., написанном для чиновников-практиков, уже зафиксированы два. разных термина: фан тянъ — ч<квадратное поле» и чжи тянъ — «прямоугольное поле». Как видно, изучение геометрических свойств фигур потребовало введения €олее точного их названия. К термину «поле», означавшему плоскую фигуру вообще, прибавляли какое-либо определение, чтобы обозначить тип фигуры. Например, «поле в виде яшмы» (гуй тянъ) означало треугольник, а «косое поле» (се тянъ) — трапецию. Для определения площади треугольника предполагалось перемножить «ширину» и «прямую длину», т. е. высоту, и взять половину этого произведения. Таким образом, треугольник был ориентирован относительно вычислителя: заданная сторона служила основанием. Треугольник мог быть произвольным или прямоугольным, в последнем случае высота оказывалась одной из его сторон. Случай прямоугольного треугольника впоследствии был выделен особо, и для него в древнекитайском языке существовала специальная терминология.
Правило определения площади трапеции выражено в тех же терминах: произведение полусуммы параллельных сторон (осно-
16 Э. И, Березкина 241
ваний) на высоту — фразой со словами «прямая длина» или «прямая ширина» вместо высоты и соответственно две «ширины» или две «длины». Мы видим, что это «поле» также ориентировано относительно вычислителя: если параллельные стороны горизонтальны,, это «ширины», задана «прямая длина», если же параллельные стороны вертикальны, задана «прямая ширина» (рис. 20, а, б).
Особо рассматривались равнобочные трапеции, называвшиеся «полем в виде совка», с верхним основанием («ширина кончика языка»), гораздо большим нижнего («ширина основания языка»), и высотой, большей верхнего основания. Таким образом, такая трапеция имеет вытянутую форму вдоль своей высоты (рис. 20, в)~
Древняя классификация фигур описывала только три вида их: прямоугольники, треугольники, трапеции. Не выделялся, как говорилось выше, квадрат, а также параллелограмм, ромб и другие виды многоугольников. Например, правильные многоугольники были известны довольно рано, однако их нет даже во всеобъемлющей «Математике в девяти книгах», видимо, потому, что они редко применяются в землемерии. На самом деле, если вспомнить самый древний текст с вычислениями площадей — надписи на стенах храма Гора в Эдфу, где перечислены только четырехугольники и треугольники, то следует согласиться, что возможное разбиение какого-то участка земли на поля происходило главным образом на произвольные четырехугольники и треугольники (одна сторона равна нулю), при этом первые не очень отличались от прямоугольников, а вторые — от прямоугольных треугольников. В таком случае «неверные» формулы вычисления площадей таких полей:
