Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
244
жений. Приведем пример из древнекитайской «Математики в девяти книгах» (задача 6 книги V):
«Имеется крепостной ров. Верхняя ширина 1 чжан 6 чи 3 цуня, нижняя ширина 1 чжан, глубина 6 чи 3 цуня, длина 13 чжанов 2 чи 1 цунь. Спрашивается, каков объем?» [50, с. 472].
Здесь описано тело, изображенное на рис. 23 с указанными на нем размерами. Объем тела подсчитывается по правилу, эквивалентному формуле
В условиях задач термина для тела нет. Правило сформулировано в общем виде и относится к «крепостной стене, плотине, каналу, крепостному рву, канаве». Такого рода задачи, как правило, даны в сопровождении дополнительных расчетов (см. условия задачи 21 книги V «Математики в девяти книгах»):
«Носят землю на расстояние в 70 бу. Из них 20 бу в гору и под гору. [Каждые] 2 бу в гору и под гору составляют 5 [бу] по ровной дороге. Из-за столкновений на расстояние в 10 [бу] прибавляется 1 [бу]. Транспортировка производится на расстояние в 30 бу. Установленная [норма] для одного раза туда и обратно [получается равной] 140 бу. Объем [одной] корзины 1 чи 6 цуней земли. Осенью [каждый] человек должен выработать 59 с половиной ли. Спрашивается, какой объем [земли] в чи перенесет [один] человек и сколько потребуется людей, [чтобы перенести вычисленный объем земли]?» [50, с. 476].
Эта задача, рисующая во всей полноте грандиозную картину массовых трудовых работ в древнем Китае, показывает, что порою древнему вычислителю приходилось производить сложные расчеты с учетом многих компонентов. Геометрическое содержание таких задач «тонуло» в море вычислений. Но древний математик сумел его выделить и сформулировать в указанном выше виде.
Форма призматоида, конечно, была идеализированной и могла быть далека от физически реального объекта. И, вероятно, более древними задачами были те, в которых применялись приближенные расчеты объема, их аналогом в планиметрии была формула для произвольного четырехсторонника (см. с. 242). Объем тела - (рис. 24) вычислен по правилу, равносильному формуле
у_ 1 (аг + Ъг . а2 + Ь2\ кг + к2 1г + 12
^""2\ 2 Т 2 / 2 2Ж
Здесь иногда 1г=12=1, может быть к1=к1 — к, т. е. размеры тела ззяты в среднем. Иногда содержатся и такие расчеты, по которым ^нельзя восстановить чертеж сооружения: линейные размеры его таковы, что призматоида не получается [21].
Таким образом, в древности ставилась своего рода альтернатива: либо геометрическая модель, возможно более близкая к физическому объекту, и пользование приближенной формулой для ее объема: либо точная формула для объема правильного геометрического тела, которое менее точно представляет сам
245
объект. Понятно, что древних «инженеров» удовлетворяли приближенные формулы, а точные более интересовали «чистых» математиков. Поэтому надо полагать, что в китайских текстах в отличие от вавилонских задачи содержали точное вычисление объемов. Приближение производилось за счет геометрической формы. Расчеты, сопровождающие задачи, с учетом сезонных норм труда и других условий работы были данью традиции, равно как заголовок китайской книги: «Оценка работ». В древнеегипетских и вавилонских|задачах основными были также расчеты рабочей силы, требующейся для производства земляных работ.
Рис. 23 Рис. 24
Отметим, что в задачах этого класса сохраняется измерительно-расчетный характер терминологии, аналогичной терминологии задач на измерение полей. Вместо современных терминов «сторона», «высота», «ребро» и т. д. употреблены термины «ширина», «длина», а высота может быть и «глубиной». Названия линейных размеров тела зависят от положения тела относительно вычислителя. Аналогична терминология для других тел: параллелепипеда, цилиндра, пирамиды, конуса и т. д. Здесь также применены термины: ширина, длина, глубина (или высота). Названия, данные телам, не всегда переводятся однозначно, поскольку древних значений этих слов мы не знаем. По-видимому, они обозначали какой-то реальный объент, по форме напоминающий рассматриваемое геометрическое тело.
3. Объемы
Мы начинаем исследование с объемов и тем самым придерживаемся самой истории: знания человека в своем развитии не соблюдали индукции л=2, 3,.. .
Простейшие тела, рассмотренные в книге V «Математики в девяти книгах», наиболее систематическом древнем тексте, в котором вычислены объемы, — это параллелепипед (заметим, что не куб) и цилиндр, пирамида и конус, усеченные правильная пирамида и конус. При этом для тел вращения обычно принимается значение числа тг=3 и формулы, которыми мы пользуемся
246
теперь. Пары, образованные таким образом, обусловлены древней терминологией. Параллелепипед и цилиндр — это «подмостки», усеченные пирамида и конус — «беседки», а пирамида и конус — «шило» (термин сохранился и поныне), соответственно квадратные и круглые, так как в основании лежит либо квадрат, либо круг. В текстах ничего не говорится о том, как были получены формулы для объемов этих тел. По-видимому, объемы тел вращения были получены по аналогии с соответствующими им много-гранниками заменой площадей оснований. Таким образом, классификация тел также основана на потребностях вычислений.
