Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> История -> Березкина Э.И. -> "Математика древнего Китая" -> 99

Математика древнего Китая - Березкина Э.И.

Березкина Э.И. Математика древнего Китая — М.: Наука, 1980. — 312 c.
Скачать (прямая ссылка): berezkina1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 93 94 95 96 97 98 < 99 > 100 101 102 103 104 105 .. 131 >> Следующая

15*
риной [равна ] 2 чжанам, разность между нижней и верхней длиной [равна] 4 чжанам, разность между верхней длиной и шириной [равна] 3 чжанам, высота больше верхней ширины на 11 чжа-нов. Из уезда А послано 1418 человек, из уезда Б послано 3222 человека. Летняя норма труда 75 чи стандартного объема. В течение 5 дней отбывали повинность и [строительство] башни закончили. [Сделали ] дополнительную пристройку, начинающуюся от южной стороны башни. Верхняя ширина [пристройки] больше нижней ширины на 1 чжан 2 чи, [но] меньше длины на 104 чи. Высота больше длины на 4чжана. Уезд А [состоит] из 13 деревень, уезд Б — из 43 деревень. Каждая деревня дополнительно выполняет повинность — должна сделать 2700 чи стандартного объема. В течение 5 дней отбывали повинность и дополнительную пристройку закончили. Мобилизованные из обоих уездов прибыли и сообща построили наблюдательную башню. Люди из деревень обоих уездов сообща строили дополни- . тельное сооружение. В обоих случаях сначала дали работу для уезда А, а затем для уезда Б. Башня возводилась в высоту от нижнего основания, а пристройка — от начала в длину. Спрашивается, каковы ширина, Высота, длина &башни и пристройки, а также высота, ширина, Длина [тех частей сооружений, которые] задали строить уездам? Ответ: Высота башни 18 чжанов, верхняя ширина 7 чжанов, нижняя ширина 9 чжанов, верхняя длина 10 чжанов, нижняя длина 14 чжанов. Для уезда А задается [часть] высотой 4 чжана 5 чи, верхняя ширина 8 чжанов 5 чи, нижняя ширина 9 чжанов, верхняя Длина 13 чжанов, нижняя длина 14 чжанов» и т. д.
Введем обозначения, указанные на чертеже (рис. 17). По условию задачи заданы соотношения между сторонами обелиска
аг—а2 = а, Ъг—Ъ2 = $, Ь2—а2=Т» Н~а2=Ь,
где аг и а2 — нижняя и верхняя ширина, Ъх и Ъ2 — нижняя и верхняя длина, Н — высота сооружения. Пусть «верхняя ширина» а2=х, тогда равенства, указанные выше, примут вид
а^х+а, Ь2=х+ч, Ь^х+ф+ч), Н=х+Ъ.
В задаче а =20, р =40, Т=30, 8=110, все величины выражены в распространенной единице длины чи. Напомним, что 1 чжан^ 2=10 чи. Объем вычисляется по правилу
У=хи {(2я1+а2) Ь1+(2о2+о1) Ь2}#, .
Это дает кубическое уравнение
Ах*+Вх2+Сх=Б,
228
где
Л = 1,
В = ^±^ + 1 + Ъ^170,
с=(^±+т)о+4+^=71бб|-,
/)=7_(У1+72) = Т/~-[^-8 + |т8]= 167766б4.
Названия для коэффициентов, принятые в трактате ВанСяо-туна: А — цзун фа, во всех его задачах равен 1, В — лянъ фа, С — фан фа, В — ши. В буквальном смысле слова эти названия обозначают соответственно: «прямой делитель», который получается сразу; «связанный делитель», полученный суммированием; «прямоугольный делитель», полученный как сумма произведений; «делимое» в качестве свободного члена уравнения. В задачах Ван Сяо-туна «делимое» всегда является выражением некоторого объема. При «составлении» коэффициентов уравнения Ван Сяо-тун вводит специальные названия для промежуточных результатов, как будет поступать в свое время европейский математик XIII в. И. Немо-рарий. Названия похожи на обозначения объемов — составных частей неправильной четырехгранной пирамиды. Но на самом деле эти выражения не могут интерпретироваться геометрически.
Китайский алгоритм начинается «с конца». Сначала вычисляют объем башни
7-75.4640-5=1 740 ООО чи3.
Но свободный член уравнения — этот объем, «усеченный» на сумму двух «объемов»: юй янь и той шоу:
V - ЛЁ. ^_800 88000
Уг — 3 3 3 '
У2 = (-^.т).8 = 300. 110 = 33000,
где 8 — «усеченная высота», т. е. высота башни Н, «усеченная» на величину верхней ширины а2, а (3/3 — произведение юй янъ,
-у • Т — произведение юй шоу. Таким образом, мы видим, что Ух
и У2 лишь по внешней форме есть выражения для объемов, а на самом деле это просто названия алгебраических выражений, которые древним заменяли современную символику. На рис. 17 мы не можем указать эти «объемы». Заметим, что в подлиннике Ч = Ь2—а2 названа «отрезанной верхней длиной», т. е. верхняя длина «укорочена» на величину а2. Расшифровав все эти термины, нетрудно прочитать весь алгоритм:
«Способ: взяв число чи для нормы труда, умножь на [количество] людей двух уездов, умножь также на отведенные [для работы] дни, это будет объемом башни. В другой раз разность между нижней и верхней длиной умножь на разность между нижней и верхней шириной, раздели на 3 и возьми 1 [раз], это будет произ-
229
ведением юй янь. Умножь еще на усеченную высоту, это будет усеченный объем юй янь. Снова половину разности между нижней и верхней шириной умножь на отрезанную верхнюю длину, это будет произведением юй тоу. Умножь на усеченную высоту, это будет усеченным объемом юй тоу. Сложи два объема, вычти из объема башни, остаток и будет делимым. Взяв разность нижней и верхней ширины, сложи с разностью нижней и верхней длины, раздели пополам, это и будет положительным числом. Добавь усеченную верхнюю длину, умножь на усеченную высоту. То, что получится, присоедини к произведению юй янь, прибавь к произведению юй тоу, это и будет квадратным делителем. Снова сложи усеченную высоту башни с усеченной верхней длиной, а также с положительным числом, это будет делителем лянь. Делитель цзун [равен 1 ]. Извлеки кубический корень делением и получишь верхнюю ширину. Каждый [раз], добавляя к разностям, получишь для башни нижнюю ширину, а также верхнюю, нижнюю длину, высоту».
Предыдущая << 1 .. 93 94 95 96 97 98 < 99 > 100 101 102 103 104 105 .. 131 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed