Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
254
а
с-3
Рис. 36
Рис. 37
Чжао Цзюнь-цин дает серию цветных чертежей, которые, к сожалению, не сохранились. Их можно восстановить по его описанию. Рис. 34 у Чжао назван «чертежом для гипотенузы». На нем площадь четырех прямоугольных треугольников закрашивалась красным цветом, она равна 2 аЬ, и площадь квадратика, находящегося в центре, равная (Ь—а)2, закрашивалась желтым цветом. Обе площади составляют в то же время квадрат, построенный на гипотенузе с. Таким образом, составляется тождество
2аЪ+(Ъ-а)2=с2,
из которого и получается известное соотношение между сторонами прямоугольного треугольника, получившее название теоремы Пифагора. с с
Далее Чжао Цзюнь-цин дает геометрическое обоснование двух симметричных тождеств:
са-Ьа=(с+Ь)(с-Ь),
с2—а2=(с+а) (с—а)
^рис. 36 и 37). Гномонооб-разная полоска, называемая -«угольником из делимого для
гоу» (гоу ши чжи цзюй), имеет площадь, равную а2, и состоит из двух прямоугольников с площадью сх и Ъх, где х—с—Ъ. Следовательно, сх+Ьх=х (с+Ь)=а2, или
а2Мс-Ь)(с+Ь),
откуда
с+Ь = а2/(с-Ь), с-Ь=а2/(с+Ь).
Во втором случае гномонообразная полоска, называемая «угольником из делимого для гу» (гу ши чжи цзюй), имеет площадь, равную Ъ2, и состоит из двух прямоугольников с площадями <х и ах, где х=с—а. Следовательно,
сх-\-ах—х (с-\-а) — Ь2,
шли
Ъ2=(с-а)(с+а),
откуда
с+а=Ь2/(с—а), с—а=Ъ21(с+а).
Как указывает Цянь Бао-цун, здесь дано геометрическое решение двух квадратных уравнений:
х2+2Ьх=а2, х2+2ах=Ь2,
корни которых соответственно равны х=с—Ъ и х=с—а [110, с. 58—60].
Далее Чжао Цзюнь-цин описывает три рисунка (рис. 38—40), первые два из которых устанавливают тождества
2 (с — а) (с — Ь) = (а + Ъ — с)2, (а + Ь)2 = 2с2 — (Ъ — а)2,
255
с
Рис. 38
Рис. 39
к
Рис. 40
а последний предназначен для интерпретации корня квадратного уравнения с отрицательным первым коэффициентом
—х2+кх=А,
к которому численный метод не применяли. Здесь к — сторона квадрата, равная сумме сторон прямоугольника с площадью А. По существу, в данном случае задана система
х-\-Ъ — к, хЪ — А,
которую привели к квадратному уравнению указанного вида.
7. «Метод гоу-гу»
Средневековые китайские математики при решении задач часто указывали на применение «метода гоу-гу». В чем состояло содержание этого древнего метода? Рассмотрим задачи последней книги «Математики в девяти книгах», название которой «Гоу-гу». Напомним, что принцип размещения материала по книгам этого древнего сочинения таков, что к первым задачам на определенную тему, имеющим соответствующий заголовок, впоследствии присоединялись другие задачи, имеющие с первыми общность лишь по методу их решения.
Во всех задачах книги IX, кроме трех последних, при решении задач применяется теорема Пифагора; а в последних трех задачах пользуются свойством пропорциональности сторон подобных прямоугольных треугольников. Современное китайское название теоремы Пифагора — гоу-гу динли, что можно перевести буквально «теорема о прямоугольном треугольнике»; таким образом, книга IX «Математики в девяти книгах» посвящена применению алгебраических методов к геометрическим задачам с применением теоремы Пифагора или подобия прямоугольных треугольников. Что касается вопросов подобия, то, начиная с Лю Хуэя, выделившего и разработавшего далее этот класс задач, известных под названием «метод чжун-ча», они, по-видимому, не стали относиться к «методу гоу-гу». Следовательно, под классом задач на метод гоу-гу надо понимать те задачи, при решении которых применяется равенство квадрата гипотенузы
256
сумме квадратов катетов. Некоторые задачи приводят к решению квадратного уравнения или системы, эквивалентной квадратному уравнению. Это задачи уже теоретического плана, и связь с практикой здесь найти трудно. Такие задачи возникали по самым различным причинам, нередко при их составлении пользовались методом обращения. Этот класс задач имеет много задач, сходных с древнеегипетскими, древневавилонскими, древнеиндийскими. По этим задачам, вероятно, можно судить, какая цивилизация раньше достигла этой определенной ступени развития науки.
Интересно, как изложено общее правило решения такого класса задач. В начале книги IX «Математики в девяти книгах» действительно предложены — вполне в стиле трактата — три алгоритма для трех сторон прямоугольного треугольника:
с — \1аа-\-ЬЬ, Ь — \]сс — аа, а = \/сс—ЬЬ,
составленные на основе теоремы Пифагора. Они продемонстрированы на первых трех задачах на примере простейшей тройки:
а=3 чи (гоу), 6=4 чи (гу), с = 5 чи (сяпь). Благодаря принятой терминологии задачи сформулированы четко, лаконично, в них педантично находится сначала с, затем Ъ и а. «Умножь на себя каждый из катетов, сложи, извлеки из этого квадратный корень», — гласит древнее правило гоу-гу, повторенное для каждого случая отдельно. Видно, что квадрат числа в древней математике именовался «число, умноженное на себя» (цзы чей). Вероятно, это и есть самая древняя часть свитка, к которой затем были дописаны другие задачи. У Чжэнь Луаня в его древних ¦ комментариях к нематематическим текстам эти алгоритмы также описаны подробно и тоже на примере простейшей тройки пифагоровых чисел.
