Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
--!-*•
Подставив значение с 2 из (103) в формулу (89), получим
48 ' 384 3840
. . . Yd* - -JL- f J J- , хЧх +
) У2л V Fi 2f,
46 080 ' ' ' / У2 + — S xldx---— S x*dx -f — 5 x*djc--— S xl0dx -
8,, 48 Fj 384 о 3840 її
_I_
46 080 о
\xudx — . . A; и /
после интегрирования получим
У2я V 6 ' 40
V2n V 6 ' 40 336 1 3456
,.із
42 240 1 594 040
о
ИЛИ
2 _ t3 . v° і' , гэ
6 40 336 3456
,11 ,13
42 240 ' 599 040
(104)
Ряд в правой части формулы (104) также сходится при всех конечных значениях t. Общий член этого ряда имеет вид
---; (105)
2" я! (2i + I) 1
здесь п = О, 1, 2, 3, . . . представляет показатель степени t в вычисляемом члене разложения (104), уменьшенный на единицу и деленный на 2 (например, для члена с I13 п = 6), илн порядковый номер дробного члена.
Так, например, третий и шестой члены разложения в формуле (104) можно вычислить по формуле (105) в следующем порядке:
2-3+1
а)п^3; (-1)3
t
б) <-1)й
23-3! (2-3 +
2 S-H
I)
-(-I)3
8-6-7
336
Iі
2в-6! (26 ]-I) 64-720 Ki 5S9040
Для вычисления значения функции Ф (t) с учетом (105) может быть написана Ocлее общая формула
2 - >+i
(106)
2"-я! (2« + 1)
Пользуясь формулами (10-1) или (10G), легко подсчитать, сколько членов разложения нужно удержать при вычислении значения функции Ф (t), чтобы в зависимости от аргумента / получить заданную точность.
Из анализа известно, что если в сходящемся знакочередующемся ряде отбросить все члены, начиная с (п + 1)-го, то остаток Rn = = S—Sn имеет знак первого отброшенного (п + ])-го члена и будет меньше его по абсолютной величине.
Таким образом, ошибка вычисленного значения интеграла вероятностей Ф (t) будет удовлетворять условию
-7==-(-1)"
2"- nl (2n + 1)
(107)
Пример. Определить, каким членом разложения можно пренебречь при вычислении Ф (/) для t — 2,0, если ошибка вычислений задана и не должна превышать по модулю 0,015. Стоинм условие в соответствии с формулой (107) н заданной ошибкой 0,015 и нпходим п
2 f*"+1
(- пя , ,^—ГТ- <ДФ(2. 0);
У 2 я 0,798(— 1)"
2"¦«I (2/1 -1- I) (2,Q)*"+1 2n-n\ (2n-\- I)
:0,015.
Методом подбора определим п; примем сначала л = 5, тогда
12.0)1»
0,798 —-— =-¦ 0.039,
2'-5'-Il
что по абсолютной величине больше 0,015; примем л = 6, тогда
(2,O)13
0,798
2«¦6I-13
что по абсолютной величине меньше 0.0 .
0.011,
Поставленное условие: Аф (2,0) 0,015 будет выполнено, если при пы-SHC лени и значения фуньции Ф (2,0; будут \ держаны члени разложения в фор-Mv.im 1104) или ( ЮР) г /" (при п — 5) и не приняты во нни мл иге члены, начин;]}., с содержащего !'•' ґгісучет членл с (,s вносит ошейку п ф (f), р tl П11V ю - 0,0027*, з не>чет члена с f13 — + 0,011).
Очевидно, что вычисление значении Ф (t) даже для небольших аргументов ( связано с большими техническими трудностями. Это обстоятельство потребовало составления таблиц интеграла вероятностей, первые из которых были составлены Крампом в 1799 г.
В настоящее время во всех руководствах и пособиях по теории «ероягностей помещаются таблицы значений интеграла вероятностей, составляемых непосредственно по таблицам академика Д. А. Маркова. Марков составил таблицы значения интеграла
t
для значений х от 0 до 4,8 с точностью до 11-й значащей цифры. От значений Фл, (() таблиц Маркова легко перейти к значениям F U) интегральной функции, так как
FU д/2
H-O^(O
Переход от значений функции F (t) к значениям интеграла вероятностей Ф (0 осуществляется по формуле связи (102). Таблицы значений интеграла вероятностей
2 І
Ф(/)--^=Ле * dx
¦у 2 п ij
и таблицы плотности вероятности нормального распределения для / от 0 до 8 помещены в прилож. 1 и 2.
* Член с fli, кпк легко видеть из формул (103] и (104). имеет вид
2 С , 2(«
6^5 120 V 2гї ГГ V2n967680o'
таким образом, ч скобке с ('ь имеем дробь-----—-, т. е. для ( = 2
9 676 800
(1* .32 768
^ -0,0034.
9 676 800 9 676 800
Его влияние на Ф (( == S) будет равно Аф — 0,798 0.0034 =¦ — 0,0027.
§ 15. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
При практическом использовании теории вероятностей для получения общих количественных характеристик случайных величин необходимо знать некоторые их числовые постоянные, основными из которых являются: математическое ожидание, моменты, среднее квадратнческое отклонение (ошибка), дисперсия, эксцесс, асимметрия.
Математическое ожидание
Математическим ожиданием ,-VJ (X) прерывной случайной величины X называется с}ммэ произведений бсс-х возможных значений случайной величины, которые она может получить в процессе опыта, на соответствующие им вероятности.
Таким образом, при наличии таблицы распределения (см. табл. 2) по определению математического ожидания и при условии, что число возможных значений случайной величины дг, конечное, можно записать
