Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Геодезия -> Большаков В.Д. -> "Теория ошибок наблюдений" -> 8

Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.

Большаков В.Д. Теория ошибок наблюдений: Учебник для вузов — M.: Недра, 1983. — 223 c.
Скачать (прямая ссылка): bolshakov1983teor-osh-nabl.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 70 >> Следующая


¦¦ 0,000129.

Cj (На условную вероятность). Пусть п ящике имеется 25 белых л 36 черных шаров. Определить вероятность последовательного поянления двух белых шаров при условии, что при взятии чершго шара из ящика шар обратно не розвращается.

Решение. Обозначим: событие A1 — появление первого белого шара, событие A1 — появление второго белого шара. Можно ,записать

P(A1A2)-^ P(A1)P(A1IA1), 25 25 - ] 24

25-24

P [A1A3) = ——- »0,164. ы ьо

в) Определить вероятность того, что выбранная наудачу деталь при сборке является первосортной, если известно, что в партии 2 % деталей — брак, a SG % всех остальных детален — первосортные.

Решение. Обозначим через событие А выбранное первосортное изделие. Тогда р (А) = (1—0,02) 0.81) = 0.78.

г) Вероятность попадання п цель при стрел f.6« на орудия равна р (A1) = = 0,'JO.

Какова вероятность поразить цель при пдном выстрели, если 2 % взрывателей дают откаупГ'

Решение. Считая событием А , попадание в цель, а событием А 2 де Петр не взрывателя, причем оба события ¦—независимыми, по теореме умножения вероятностей имеем

P(A1A2) =¦ (1 —0,02) 0,20; P(A1A2) = 0,98 0,20 = 0,19G.

Глава (I МНОГОКРАТНЫЕ ИСПЫТАНИЯ

§ 8. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПРИ МНОГОКРАТНЫХ ИСПЫТАНИЯХ, БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

При исследовании новых приборов или при проверке новых методов работ независимые испытания производятся многократно, т. е. при сохранении определенного комплекса условий повторяются большое число раз. Испытателя в этом случае интересует конечный результат опыта, например сколько раз при п испытаниях появится ожидаемое событие.

Пусть А — некоторое событие, на появление (или непоявление) которого производятся многократные испытания. Вероятность этого события известна и постоянна. Результатом каждого отдельного опыта может быть появление или непоявление события А, т. е. совершение или А, или А. Требуется определить вероятность того, что при її испытаниях событие появится k раз, т. е. необходимо найти Pn (k). Проанализируем результаты п испытаний в «схеме случаев», т. е. последовательно: после первого испытания, после двух испытаний и т. д. и, наконец, после п испытаний.

Когда ^произведено одно испытание, получим или А, или А, но р (или А, или А) = р (А +¦ А) =* р (А) + р (А) = q + р. В то же время известно, что

После двух испытаний возможны следующие комбинации сложных событий.

или AA, или AA, или AA, или AA,

т е.

р\АА--АА-'-АА , АА'\ р\АА\ + (ИЛА) +

I-р (Х-! і -рґЛЛ). (33)

Из теоремы умножения вероятностей следует

р(АА\- р (AA) + р і AA І - і- р (ЛЛ) =ц-цл-рр->-ах

\р + р q - (V-i р)'=1. (M)

После трех испытаний возможны комбинации сложных событий: или ЛЛЛ, или AAA, или AAA, или AAA, или .4.4Д, или AAA, или ЛЛЛ, или ЛЛЛ;

из теорем сложения и умножения вероятностей следует

р і AA A I р (' Л Л Л J-M Л Л .4 І і- р і AAA I M ЛЛЛ і +

- р IA A Ap \A A A) -: p (A A~A - = g3 -- P3 + <їгР - <J*P +

+ if p 4- дрг + рЦ -і p'u =-- q3 4 :3(/гр + Зр2</ t- pa = I. (35) Окончательно

(q + pf-l. (35')

Рассуждая аналогично, для n испытаний получим

(q + p)"=). (36)

Выражение (36) после разложения его в ряд по формуле бинома Ньютона даст вероятность для (п + I) произведений сложных событий при многократных испытаниях без учета последовательности их появления.

Разлагая бином (36). с учетом того, что п целое и положительное число, получим

Pfcy-> + c-V~V+ . . .

. . . +CV-V-'- - . . +CW- 1. (37)

В выражении (37) С* — биномиальные коэффициенты (Д — О, 1, . . . , ч); при этом очевидно, что

Cl п, Cn - Cfn = 1 (0! - 1 по определению).

Основное свойство сочетаний

Cn - С"". (38)

Контролем вычислений вероятностей по формуле (37) является равенство суммы всех членов разложения единице.

икончательно имеем

Р„(к)^скп?-У. (59)

где Pn (к) — вероятность появления события к раз при п Испытаниях; С* = —~~h)T~—ч"сло!сочетаний из п по k\ р—вероятность события; ц — вероятность противоположного события.

Совокупность вероятностей Pn (А) носит название биномиального распределения вероятностей.

При больших значениях пик (больше 10) для упрощения вычисления факториалов в формуле (39) применяют приближенную формулу Стирлинга

л\^т/2мппе-а(1±~ !— 4 . . .). (40)

V 12п 288/1' ^ J К '

Если отбросить множитель в скобках справа в формуле (40), что при больших значениях п несущественно, то формула Стирлинга примет вид

п\ ^ V2nn(—)"¦ (41)

Абсолютная ошибка вычислений факториалов по формуле (41) увеличивается с увеличением п. Относительная же точность (характеризуемая отношением абсолютной ошибки к значению факториала и выражаемая обычно в %) повышается с увеличением п. По этой причине формула Стирлинга принадлежит к числу асимптотических формул. Сравнивая формулы (40) и (41), легко подсчитать, что при п = 10 относительная ошибка вычислений составит 0,8 %, при п = 20 она будет равна 0,4 °о.

Для определения биномиальных коэффициентов при вычислениях по формуле (39) целесообразно воспользоваться вычисленными значениями биномиальных коэффициентов, имеющимися в школьных справочных таблицах (например, Браднса) или составить треугольник Паскаля, состоящий из совокупности биномиальных коэффициентов для заданного (выбранного) числа п.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 70 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed