Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Геодезия -> Большаков В.Д. -> "Теория ошибок наблюдений" -> 9

Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.

Большаков В.Д. Теория ошибок наблюдений: Учебник для вузов — M.: Недра, 1983. — 223 c.
Скачать (прямая ссылка): bolshakov1983teor-osh-nabl.pdf
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 70 >> Следующая


Коэффициенты

1 1

1 2 1 1 3)1

14 Ь 4 1

1 5 10 If Ь

1 6 15 20 15 G

Каждый биномиальный коэффициент в треугольнике Паскаля образуется сложением двух стоящих над ним коэффициентов слева и справа. 22

Заметим в заключение, что дополнительный контроль вычислений по формуле (V) может быть получен, исходя из свойств биномиальных коэффициентов, а именно: коэффициенты членов, равноотстоящих от начала и конца, равны, а сумма всех коэффициентов в биноме н-й степени равна 2".

Пример- Определить рсроятипсть получения трех пробои» в мишени при четырех выстрелах, если вероятность поразить мишень при одноч выстреле постоянна н равна 0.4

Решение. Обозначим вероятность поражения мишени при первом выстреле через р (A1), при нтором выстреле через р (.4,), при третьем выстреле через P(Ax). при четвергом ьыстреле через р (A4). пероятность получения трех пробоин и мишени при четырех выстрелах через P4(S). По условию примера имеем

P (А,) = P {.-I3) = р (A3) = р (A1) = р = 0.4; 'q --= ) - Р, т.Ге. „ -- OS,. По формуле (30) имеем

P4(S)- С^~У = 4-ГО.6)>.(0,4)1; Р, (3)-0,15.:0.

Этот результат может быть получен т;кже п;тем прнменсьня теорем сложении и умножения вероятностен

Собмгпе їняличио п мишенк грех прямойh' может нлетупнть п следующих комби наи.ияя:

1) B1^-(A1A1A3A4); 3) B3 -- (A1A2A^A1);

2) Вг - (A1AtA3A,); 4): S1 - (A, A1A0A4). Применяя Ttopesry умножения зля нкчаписнмых событий, получіш

1) P {B1) = р (A1AtA3A4) = P (A1) р (Аг) Pl(A3) р {A4) =0.0384;

2) р (B2) = р (A1AsA3A,) = р (A1) р IA2) P (A3) р (A4) = О,0Ж;

Z\ P (В,) = P (Д,4.Л?4,)- P(A1I р (Лг) р;(Ля)р'(Л4) = 0,0,-134-.

4) р (B1) =-- р CA1A2A0A4) = р (A1) р (A2) P1XAJp(Ai) - 0,0364.

По условию примера появление одного из сложных событий — произведений I —4 будет означать (иступленне ожидаемого события Следовательно, по теореме сложения имеем

p4 (3) =-- P (S1) H P {R2) + P (S3) + р (B1)

или

P1 (?)¦-- 0,1536.

Получен тот же результат, что и ио формуле 139V

По формуле (39) можно вычислить вероятность появления события k рлч при п независимых многократных испытаниях, причем А = 0, I. 2, .... н.

В практических целях представляется полезным уметь вычислять вероятность появления события хотя бы один раз при выполнении данного комплекса условий. Поскольку сумма вероятностей противоположных событий равна I1 т. е. q + р = 1, вероятность того, что некоторое событие А ни разу не появится при л испытаниях, равна [р (А) ]".

Следовательно, вероятность того, что событие .•I произойдет хотя бы один раз, равна

Р{Л)--\-[р(А)\а. (42)

или

P(A) = I-?. (4.3) Так, в предыдущем примере P (A) = 1 — (0,6)4 = 0,8704.

§ 9. ВЕРОЯТНЕЙШЕЕ ЧИСЛО ПОЯВЛЕНИЙ СОБЫТИЯ ПРИ МНОГОКРАТНЫХ ИСПЫТАНИЯХ

При испытаниях новых приборов или методов работ, а также-при различных теоретических расчетах исследователь, естественно, ставит перед собой вопрос: какое число появлений ожидаемого события (при многократных испытаниях) наиболее возможно, если выполнен определенный комплекс условий, который в обобщающем виде характеризуется постоянством в процессе опыта вероятности появления события при одном испытании. Конечно, каждый раз, вычисляя все члены разложения в формуле (37) и зная из определения вероятности, что большая вероятность порождает большею уверенность в получении желаемого результата опыта, можно определить число появлений события, соответствующее этой вероятности. Для иллюстрации сказанного рассмотрим пример.

Пример. Произведено 8 независимых измерений одной и той же пе-личины в одинаковых условиях. Вычислить вероятности появления отрицательных * ошибок А: одной, цв\г., трех и т. л., посьмя из восьми, полагая, что

P (Л <0) = P (А>0)= ~; р(\ <0) = q: р(А>0) = р.

Решение. Составим табл I.

Таблица 1

Число появлении
и
J
2

4
S
є
7
S
Контроль






P
г,<»






СО



сс
Ч)

¦Я
____^


1

*- I

— I с
— I гч
-I-
-|«
-1
-1 "
Z



— Т, '¦О
л се U

U


г- со
О


Q
1
8
28
56
70
56
28
8
1
1

о
256
256
250
256
256
256
256
256
256

* Вообще говоря, выражения «отрицательнJh ошибка*, «положительная ошибка» неточны. Правильнее говорить: «ошибка, меньшая нуля», «ошибка, большая нуля», «ошибка, равная нулю» (вместо єну левая ошибка» или •ошибки нетв).

2-1

( 70 N

Из табл. 1 видно, что наибольшая вероятность (T^") соответствует

ппнвленню четырех отрицательных ошибок.

Задача, следовательно, состоит в том, чтобы найти способ отыскания в обшем виде числа появлений события, соответствующего наибольшей вероятности, или так называемого вероятие й-Hi его числа появлений события при многократных испытаниях. Обозначим вероятней шее число через k„. Для решения поставленной задачи используем формулу (39) биномиального распределения вероятностей. Так как это распределение прерывное (дискретное), аппарат математического анализа непригоден для исследования изменения вероятностей Pn (к) в зависимости от изменения числа появлений события k.
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 70 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed