Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Геометрический смысл теоремы Лейбница—Ньютона состоит в том, что производная от переменной площади равна переменной конечной ординате.
В соответствии с этим
-1-Ф(Ї + Д0_-І_Ф{0 Hm _?---- = Уі- (90)
Af-.11 At
dt У2л
* Иногда функция (89) представляется в виде [1, стр. 107]
2*
35
Функцию yi = ~~— г 2 обозначают через <р (t) и называют
¦у 2л
плотностью нормального распределения вероятностей.
Иногда ее называют дифференциальной функцией нормального распределения. Таким образом,
ф(0
1
(92)
Построим график функции = ф (t). Так как <p (t) —функция четная, полученная кривая нормального распределения будет расположена симметрично от-1" носительно оси ординат
(рис. 3). Свойства этой кривой более подробно будут рассмотрены ниже.
Как следует из вышеизложенного, интеграл вероятностей геометрически представляет площадь, заключенную между кривой нормального распределения и осью абсцисс, в пределах от — t До + t. При дальнейших рассуждениях полезно иметь в виду, что .интеграл вероятностей принимает значения, приведенные в табл. 3.
Таблиця ,3
-J -2 -7
+2 +3
Рис. 3
і
Ф (!)
I
Ф U)
О
О
І 3,0
0,9973
1
0.6ЙЗ
4,0
0,99994
2
0,954
5,0
0,9999934
2.5
о.зда
8,0
0,999999999999999
Рассмотрим основные свойства интеграла вероятностей Ф (t).
I. Функция Ф (/) есть функция нечетная, т. е. при замене аргумента ? на — і функция Ф (І\ меняет знак, не меняя своего численного значения.
Для доказательства этого свойства запишем
У2л п
dx.
(93)
Произведя под знаком интеграла замену переменной х = — г, dx = — dz, находим, что при х = — /, г = і
Ф(-0---~\<Г^* dz.
V 2л о
Следовательно,
Ф( —O=—Ф(0. (94)
2 С возрастанием аргумента / от нуля до бесконечности значение функции Ф {t) также возрастает, приближаясь к своему предельном) значению, равному единице, т. е.
ІітФ{0---т==-іе "- dx-l. (95)
Записав функцию
Ф<0-^=-+fe * '''dx, (96)
видим, что интеграл & правой части формулы (96) — это известный интеграл Эйлера—Пуассона, т. е.
+со ] ^
S e~T"'dx У2л7 (97)
— сю
Подгтавлин формулу (97) в (96), получим
-^=-1 Гі"'іс = 1, (98)
что и требовалось доказать.
§ 13. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И СВЯЗЬ ЕЕ С ИНТЕГРАЛОМ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Для характеристики закона распределения часто вместо интеграла вероятностей Ф (t) применяют так называемую интеграл ь ш ю функцию норш.нного pacn р еде-лени л, имеющую вид
^<0 = -тЦ- І c~^"dx. (99)
У J Л -Sc
сравнивая формулы (89) и (99), нетрудно установить, чти геометрически интегральная функция нормального распределения представляет площадь, заключенную между кривой нормального распределения и осью абсцисс в пределах от — оо до t. Установим связь между интегралом вероятностей (89) и функцией F (И, для чего Интеграл (99) разобьем на два интеграла
-tW W iXdx = —j=-\e ¦¦',ix-—^\e 2 dx. ()D0) V2.1 — «- У^л V2jI 'J
На основании выражений (89) tt (98) можем записать
,U S е~~ dx - —; -^\е 2 dx-^-LtlHt);
V2n _„ 2 ' Van і) 2
с учетом полученного перепишем формулу (100) в виде
Однако при практическом использовании связи (101) чаще приходится вычислять Ф (t) через F (t), а не наоборот. Имея в виду это обстоятельство, умножим левую и правую части выражения (101) на 2 и, решив его относительно Ф (t), получим
O(«) = 2F(0-l. (102)
-«> Ot +t -t 0 +t
Рис. 4
Таким образом, если имеются таблицы для определения значения функции F (t) по аргументу /, а необходимо найти значение интеграла вероятностей Ф (t), достаточно выбранное табличное значение F (t) умножить на 2 и полученный результат уменьшить на 1.
Установленную связь (102) между функциями Ф (/) и F (г) легко проверить графически на основании сравнения заштрихованных площадей на рис. 4, а и б.
§ 14. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Функция Ф (г) имеет большое применение в теории вероятностей.
При вычислении значений этой функции для заданных значений аргумента ( она не может быть выражена через элементарные функции, взятые в конечном числе.
Учитывая, что в практике приходится иметь дело с не очень большими значениями аргумента t (так, в расчетах, связанных с теорией ошибок, t < 3 практически исчерпывает все интересующие
нас случаи; см. табл. 3), вычислим значение Ф (г) по формуле (89)
__i_ i?
путем разложения подынтегральной функции е 2 в ряд Макло-рена и последующего интегрирования частной суммы. Примем
— —х2 —г. 2
Тогда, раскладывая ^ в ряд Маклорена, получим
7 -2 -Я ,4 ,5 ?в
1! 2! 3! ' 4! 5! 1 6!
ИЛИ
.Ї1 J *4 *ч х%
П.2 ' 2!-4 3!-8 4! -16
51-32 6!-64
Т. Є.
.___L vJ ,2 ,4 rs ve rlO yll
р а =1 - — +— _^—і-т .... (103)
2^ 8 48 384 3840 ' 46080 v
Этот ряд по теореме Дбеля сходится равномерно в любом конечном интервале.
