Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
M[X) -*,р,ч х:рг- , . . - JfnPn- ? Xiр,, (108)
где Z р<- ~ I. поскольку учтены все возможные значения X. 1= I
Если выражение математического ожидания (10Sj распространить на дискретные величины, имеющие бесконечное число возможных значений Хі, то в этом случае
Il
a)(a')--e^Pi = hm z*'P.- (j09)
П
Учитывая, что в формулах (108) и (109) Z />,= I1 иногда пишут
п
Z *lPi
М(Х\--Ц-—. (НО)
1=1
Формула (ПО) позволяет дать механическую интерпретацию математического ожидания: M (X) является абсциссой центра тяжести системы точек, абсциссы которых равны значениям случайной величины, которые она может принимать или принимает в процессе опыта, а массы, помещенные в эти точки, равны соответствующим вероятностям.
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X называется интеграл
+-»¦
M(X)- $ xj(x)dx, (111)
где / (.v) — плотность вероятности распределения случайной величины ,V.
Для нормальном распределения
+<*>
M(X)-. $ ляр(112)
- СО
где ip (г) — плотность вероятности нормального распределения (см. § 12).
Пример. Вероятность попадания а цель при выстреле р = 0,5, Определить математическое ожидание числа попаданий при четырех выстрелах. Решение. Вероятности возможного числа попаданий 0, 1, 2, 3. 4 равны
P4(O)- CfrV - I {-J-J- P5(O)-0.0625;
P4(D-Cj17V- 4(^-)1; P4(1I = O,2500;
P4 (2) -Cj9V - b(jfj- Р4(2)-0.,Ч7Ь0,
P4 (3) - C^y „ 4- (y-J I P4 (3) - 0,2500;
Р.і {4) cj9V - I . (-1¦J ; P4 (4) 0.0625;
Контроль: ZPn(It)^-- 1,0000.
Математическое ожидание числя попадании яри четырех иистреллк
Al (X) = X1/;, + х2р2 + *аРэ Л ЧРі "I" ^sPi-
M (X) = 0-0,0625 + 1- 0,230 і- 2-0,375 + 3-0,250 + 4 0.0625;
M (X) = 'J попадання (наиболее возможное h„ пр; fc0 =z 4-0,5 — 2 попадания: таким образом, доказано, что M (X) = пр).
РеалI)hfjh алгебраический смысл математического ожидания станет яснее, если установить его связь со средним арифметическим. Заметим, что средним арифметическим называют величину, вычисляемую по формуле
(113)
П C= 1
Докажем, что при неограниченно большом числе испытаний пределом среднего арифметического являйся математическое ожидание случайной величины. Рассуждения будем вести применительно к формуле (108), т. е. для прерывных случайных величин,
отметив при этом, что все полученные выводы можно распространить и на непрерывные случайные величины.
Пусть в процессе опыта случайная величина с численным значением
X1 появилась -M1 раз
х.г » M2 »
хэ у M-, S
х„ » Mn я
На основании формулы (113) можем записать 'i + X3M2-T X3Mj + ... +X1 M1- M2 + M3 + ... + Mn
Обозначим
M1-T-M2-I-M3+ , . . + Mn--N; Л7 — число всех испытаний. Тогда
x^x^+x^ + ^-f-t- . ..+ха-%-. (115) NNN N
В формуле (115) дроби -—-, ——-, . . . , —- по определению
Л N Л' Л'
(1) есть относительные частоты, т. е.
N чь ,V V Л' 43 ' Лг 4
Следовательно,
* *iQi + ^Qa -\-x:iQs+ . . . -+XnQn. (116)
На основании теоремы Бернулли (§ 4), переходя к пределу и заменяя в формуле (116) Ql соответствующими значениями р,, получим
вер. Hm X = M(X). (117)
л'-•¦OO
Таким образом, математическое ожидание M (X) в вероятностном смысле является как бы теоретическим средним значением случайной величины.
Рассмотрим свойства математического ожидания для прерывных случайных величин, вытекающие из определения M (X).
Первое свойство. Математическое ожидание имеет ту же размерность, что и значения случайной величины. Это свойство очевидно, так как в формуле (108) X1, х2, . . . , хп умножаются на вероятности, которые являются отвлеченными числами.
Второе свойство. Математическое ожидание M (X) может быть как положительным, так и отрицательным числом в зависимости от знаков значений случайной величины. Это свойство также очевидно.
Третье свойство. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной, т. е.
M(C) = C,
где С — постоянная.
Это свойство также не требует доказательства.
Четвертое свойство (теорема сложения математических ожиданий, простейший случай). Матгмотичсское ожидание суммы двух или нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих случайных величин, т. е.
M (X т Y) = M (X) + M (Y); (118)
М(Х + У' + - ¦ . + VF) = M(X)A- M(K)+ . . . + М(Щ_ (119)
Доказательство. Докажем частный случай формулы (118). Для случайных величин X и Y запишем
M(XJr-Zx1-P(X1):
к
M(Y)-L ЮРЫ-/"і
Для формулы (118) по определению математического ожидания можно записать
M (X + Y) = V1L (X1+yi) р (*.<,,), (120)
с= і /= і
где р (X1-If1) — вероятность совместного появления возможных значений Xi И I/,.
Выражение (120) можно переписать так
M(X+ Y) - У Xi Lp(XiUi)+ Lt/< L Plxty,). (121)
I=J /=1 ;=l 1=1
Для независимых * событий
P (х,Уі)-Р(>:і) р (уі). (122)
С учетом (122) выражение (121) примет вид
л к к п
M (X+Y)-Z XiP (Xi) Z р (уs) + Z УіР (Уі) L P (Xi)- (123) і= і ,=1 ,-=1 і— і
