Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
По определению вероятнейшего числа появлении события должны выполняться неравенства:
Pn(*o)>P»lfe»-M); \
Pn {ko) > Л. (A0-I). ] ( '
Если условие (44) будет выполнено, k„ будет вероятнейшим числом появлений события при многократных испытаниях. Найдем к„, отвечающее первой части условия (44). Для этого составим отношение
Pn (Ih)
Пользуясь формулой (39), преобразуем числитель и знаменатель левой части неравенства (45)
лі__
я„(*0+1) _ СпУУ~*о-у„+' (fto+l)l(n-fto-lH '
(46)
Произведя соответствующие сокращения в (46) и имея в виду неравенство (45), получим
п-*° (47)
h + і q
Освободившись от знаменателя в левой части неравенства (47), запишем
(п-*0) P^(A0-M)?. (48)
Но так как
<7-1-р, (49)
то, лодставнв значение q из (49) а формулу (48), получим
"Р — Kp < h~кьР+ 1 — P
или
лр —(1 —р)<А„. (50)
Таким образом, для выполнения первой части условия (44) достаточно определить k0 под условием (50).
Найдем правую границу неравенства (50), т. е. A0, отвечающее второй половине условия (44), для чего составим отношение
Р„ (U
Поступая аналогично, после несложных преобразований получим
(?— 0 A0 Q .... j
или
A0-Кр<, np — kap + p; (53)
h^npArp. (54)
Окончательно, объединив неравенства (50) и (54), получим
пр—(1 — р) < k0 < пр4 р. (55)
Неравенство (55) позволяет находить вероятнейшее число появлений события при многократных испытаниях, т. е. такое число, которое отвечает условию (44). Контролем вычислений k0 является равенство единице разности, составленной из правой и левой частей неравенства (55). При вычислениях k0 по формуле (55) п (число всех испытаний), как правило, известно по условию задачи (или им задаются произвольно); р (вероятность появления события) известна по условию задачи (или ее значение надо найти, исходя из условия задачи).
При числе испытаний достаточно большом и при значении р не близком к нулю неравенство (55) можно превратить в равенство и для практических целей использовать для вычисления k0 приближенную формулу
k0 ~ пр. (56)
Формула (56) получена путем математических рассуждений, однако ее правильность легко обосновать логически. Для этого достаточно рассмотреть пример на многократное испытание с подбрасыванием монеты.
Следует подчеркнуть, что несмотря на свою простоту формула (56) имеет исключительно важное значение как для последующих теоретических выкладок, так и в особенности при решении задач на появление числа ошибок в заданных пределах.
Основную трудность при решении практических вопросов с использованием формулы (56) составляет определение вероятности появления события.
Глава III СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, ИХ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
§ 10. ПОНЯТИЕ О СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЕ. ПРЕРЫВНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Случайной величиной называют переменную величину, сопутствующую случайному событию и отражающую многообразие неучтенных колебаний условий, при которых производится данный опыт. Таким образом, при проведении опыта приходится иметь дело со случайной величиной, конкретное значение которой заранее неизвестно.
При м'е р ы случайных величин, сопутствующих случайным собы-ти ям:
а) Число появлений события или относительная частота при многократных испытаниях.
б) Производится 4 выстрела по мишени. Ожидаемое событие; «попадание в мишень». Это событие может сопровождаться случайными величинами (числом попадании) 0 или 1, или 2, или 3. или 4.
в) Производится измерение одной и той же величины в одинаковых условиях п раз; точное значение измеряемой величины известно. Результаты измерений будут колебаться около точного значения, причем заранее нельзя назвать ни одного результата измерения; можно лишь, исходя из опыта аналогичных измерений, указать границы изменения случайных величин — результатов измерений или их отклонений от точного значения.
Различают два типа случайных величин: прерывные (дискретные) и непрерывные.
Прерывной случайной величиной называют такую случайную величину, возможные значения которой можно заранее указать (например, число попаданий при трех выстрелах — 0, 1, 2, 3; относительная частота попаданий при трех выстрелах —- 0,
—, 1; число появлений отрицательной ошибки при пяти измерениях— 0, 1, 2, 3, 4, 5; число появлений события при многократных испытаниях).
Непрерывной случайной величиной называют такую, которая может принять любые значения на некотором непрерывном интервале,',которые не могут быть перечислены заранее.
Пример.* Производится стрельба по цели, представляющей квадрат со стороной а. Начало координат х и у совпадает с центром квадрата. Событию «попадание в цель» соответствует условие
Таким образом, если случайное событие «попадание в цель» произойдет, можно утверждать, что координаты точки попадания х и у заключены в пресі
делах от 0 до -^- > но нельзя перечислить нозчожные значения координат точек попадания, так как их несчетное множество.
Разумеется, конкретные значения случайной величины при ограниченном числе испытаний могут заметно отличаться друг от друга и в этом смысле она не является непрерывной, хотя эти значения и нельзя перечислить заранее. Однако речь идет о возможных значениях случайной величины, т. е. о таких, которые она может принимать в процессе опыта. Таким образом, число наблюденных значений случайной величины всегда конечное; однако возможное число значений непрерывной случайной величины — «несчетное множество»*.
