Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Однако частные значения отклонений X — M (X) сами но себе ничего не характеризуют, а математическое ожидание отклонения случайной величины, как легко убедиться, равно нулю вследствие взаимной компенсации отклонений положительных и отрицательных значений. Среднее значение из абсолютных значений этих отклонений также не всегда дает хороший результат при оценке разброса, так как результаты сильно сглаживаются и большие отклонения становятся мало ощутимыми, особенно при значительном числе испытаний.
С целью устранения указанных недостатков принято рассматривать не сами отклонения, а их вторые степени. В этом случае большие отклонения сказываются на конечном результате оценки значительно больше, чем малые. Привлечение для этой цели более высоких степеней X—M (X) связано, как было отмечено выше, с дополнительной трудностью, вызываемой тем, что в практике приходится ограничиваться сравнительно небольшим числом испытаний (наблюдений).
Дисперсией D (X) случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения значения случайной величины от ее математического ожидания, т. е.
D (X) - M ЦХ — М (X) I2I. (140)
Из формулы (140) следует, что дисперсия случайной величины есть не что иное, как центральный момент второго порядка, а именно D (X) = щ.
Для прерывной случайной величины X
D(X)=Z[X1-M(XWPi, i=i
или в более простом виде, с учетом формулы (117),
D'(X) =-Lf1 (xt-x)2. (141)
Для непрерывной случайной величины X
OO
D(X)= S [х{-M (X)}'f (х) dx. (142)
Иногда обозначают
/J(X) = Oi-O-2. (143)
Величина о = + -\JD (X) называется средним квадра-тическим отклонением (иногда — стандартом); берется всегда со знаком «+». Среднее квадрати чес кое отклонение о обладает по сравнению с дисперсией D (X) несомненным преимуществом: оно имеет ту же размерность, что и случайная величина. Отметим, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины.
Часто пользуются относительной числовой характеристикой разброса или так называемым коэффициентом вариации у, представляющим отношение среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию, выраженное в процентах, т. е.
——100%, (144)
исключая, конечно, случай, когда M (X) = 0.
Если в формуле дисперсии (141) х,- — различные значения случайной величины, полученные из наблюдений, а вместо х взято X — точное (истинное *) значение этой величины, то разность А/ —-= — Xi—X называют истинной ошибкой. Дисперсия D (X) в этом случае будет представлять собой квадрат средней квадрати-ческой ошибки т2, т. е. D' (X) = т%, а т = о.
Формула средней квадратической ошибки, вычисленной по истинным ошибкам (так называемая формула Гаусса), имеет вид
т=л ¦^-L1 (145)
* Истинное — безошибочное значение отдел bHbixJ физических величин, как правило, неизвестно. В некоторых случаях известно истинное значение функции нескольких величии: сумма углов в плоском треугольнике (180^), сумма превышений и приращений координат в замкнутых ходах (0) и т. д. Поэтому при испытаниях в качестве истинного берут точное значение наблюдаемой величины, ошибка которого пренебрегаемо мала по сравнению с ошибками испытуемого метода (например, ошибка величин X на порядок меньше ошибок измеряемой величины х{).
где знак [ ] — гауссова сумма.
И-л?-л|4 , ..-;-лп,'
п — число всех ошибок (наблюдений).
В последующем изложении понятие средней квадрэтической ошибки используется чаще, чем понятие среднего квадрэтического отклонения, поскольку речь пойдет об измерениях.
Понятия математического ожидания и дисперсии нетрудно применить для биномиального распределения вероятностей.
Определим математическое ожидание числа появлений события M (k).
По определению
M (k) Y1 кфі. (146)
1"— !
Таблица распределения для данного случая примет следующий вид (табл. 4).
T а б л и її а 4
"і
ll
1 j 2
3
п
Pi-
Pn <(»
P11 Vi)
Pn (Зі
Л, <«'
На основании формулы (146) и данных табл. 4 имеем M(A) = O-Pn(OKl-Pn(IM 2-Pn (2) +3•Pn (3) + . . . . . . +A-Pn(A)-I- . . . +(п —1)-Р„(п—1) + п-Р„(пК
-оу нс^-'р+гс^У + зс^-у+ . . . . - «;у'-у- . .4(n-i)crV~'+«cy- -^.у-1 р і
™ -^-y-L.-3n! _ <Гу + . . .
2! (it — 2) ! r 3! (n — 3) !
Al (л-А) ! И 1 („-I)! ^
Раскроем факториалы в правой части (147), произведя соответствующие сокращения
M(fe) = ng"-1p+n(n-i)gH-y - "'"-'Н"-2> <гу + . . .
я(я-1). . .(П-*+і) у-у + _ _ +п(„_1)х
xqpn-l+npn. (147')
51
Вынесем в правой части формулы (147') вероятнейшее число появлений события при многократных испытаниях k0 = пр за скобку, получим
, (»-0.,.(»-А±1)?»-у-і4 . . .-i{n~l)qp"-2 + p«-l\.
O-i)
(148)
Но в формуле (148)
(й-1)!
. . . +(«-l)w"-S + p"" W-P)"-1. (149)
Вместе с тем
(д + рТ~}- 1, (150)
так как q + р — 1. С вероятностной точки зрения (ц + есть
вероятность появления всевозможных комбинаций (п~\) сложных событий, составляющих полную группу событий. Вероятность того, что при одном испытании какое-либо из («—I) сложных событий произойдет, равна единице, т. е. (q + р)"~х — 1. Из (148) с учетом формулы (150) следует
