Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Но в выражении (123)
Ip(W) = I; яры-].
,-і ,=і
* Для случая зэгжеимых случайных величин используются условные
ВерОЯТНОСТИ р (t)j!xi).
Следовательно,
M (X+-V) ¦-JlXiP[X1) -f ? IJiP(Ij,) .-і Р"\
или
M(X-Y)-M(X) M(Y), (124)
что її требоалдось доказлгь.
Нетрудно распространить это доказательство на любое число слагаемых.
Пятое свойство (теорема умножения математических ожиданий; простейший случаи). Математическое ожидание произведения двух или нескольких независимых случайных величин раина произведению математических ожиданий этих случайных величин, т. е.
M(X-Y)^M(X)-M(Y); (12Г>>
M(X-Y-Z . ., U-', = M(X)-M (Y)-M (Z) ,.¦(W(H-") (126)
Доказательство. Докажем справедливость формулы (125). На основании определения математического ожидания можно записать
M(X¦Y) = ? ? w(*..«/>•
1= ] jf I
где Xi и у/ — различные значения величин А и I' соответственно;
P (Х'Уі) — верОЯТНОСТЬ ПрОИЗВедеНИЯ XHJ1.
Для независимых случайных величин имеем Р<*Щ) - P(Xi)PW
или
M(X-Y)--: ? Y1XMP(Xt)P(U,)= J^XtP(X1)Zy1-PUl1). (127)
г- ] /- 1 .= 1 /=1
Окончательно, пользуясь определением математического ожидания и полученным выражением (127), имеем
M(X-Y) = M(X)-M(Y)1 (128)
что и требовалось доказать.
Полученный вывод (Г2S) легко распространить на любое число независимых случайных величин.
Шестое свойство. Математическое ожидание произведения случайной величины на постоянную равно произведению математического ожидания случайной величины на постоянную величину, т. е.
M(CX) -.C-M(K)1 (129)
где С — постоянная величина.
Докэзательст&о. На основании пятого свойства можно для выражения (129) записать
M(C-X)^M(C)-M (X).
Но по третьему свойству M (С) — С. Следовательно, M (CX) — = C-M (X), что л требовалось доказать.
Все свойства математического ожидания для прерывных случайных величин справедливы и для непрерывных случайных величин. Разумеется, при рассмотрении свойств математического ожидания в данном случае необходимо исходить из определения M (X). выражаемого формулой <1П).
Моменты
В теории вероятностей различают начальные и центральные моменты.
Начальным моментом порядка k случайной величины А' называют математическое ожидание k-a степени этой случайной величины, т. е.
V4 = M(X"). (НО)
Центральным моментом порядка к случайной величины называют математическое ожидание А-й степени отклонения случайной величины А' от ее математического ожидания M (X),
\хк^М\\Х-М(Х)\к\. (131)
Для прерывной случайной величины X на основании формул (130) и (131) можно соответственно записать
\= І XlP1. (132)
1=1
где .V1 — различные возможные значения случайной величины X; pi — соответствующие вероятности;
V*= t \хі-М(Х)\кРі. (133)
Із= [
На основании связи (117) среднего арифметического х с математическим ожиданием M (X)1 в соответствии с которой
вер Іігп Х---М (X),
для эмпирических распределений формулы (132) и (133) можно упростить и записать
v(= (134)
/г= 1
P*-- tixi-xfQi. (135)
Здесь Q1- — относительные частоты появления значений случайной величины, получаемых из массовых наблюдений.
В частном случае, когда для возможных значений X1 относительные частоты Q1- одинаковы (например, каждое значение х, появилось один раз), формулы (134) и (135) еще упростятся и примут вид
і " k п 1-і і'
" 1=1
Для непрерывной случайной величины X в соответствии с формулами (130), (131) для начального и центрального моментов запишем
V*= $ x"f(x)dx; (136)
— ОС
OO
И* = ^ \x-M(X)\)kf{x)dx. (137)
В формулах (136) и (137) функция / (х) — плотность вероятности распределения непрерывной случайной величины X.
Пользуясь формулами (132), (133), (134) и (135), легко установить, что (23, с. 1781
V0=I; Mo^ I;
V1 = X; P1 = O;
P2 'V2-Vj; } (138)
p4 — v4—4v3j; +6V2X2—Злг4; P2142 = (2i + l) U2^ (1=1, 2, 3,. . .). (139)
Формула (139) позволяет вычислять центральные моменты четного порядка для теоретической связи, начиная с момента 4-го порядка, через момент второго порядка.
Так, например,
M
(і
= 1)
IV
15р^
О'
= 2)
I1S
105Pj
(і
-3);
При использовании моментов обычно ограничиваются моментами 4-го порядка; для надежного определения моментов более высокого порядка необходимо число испытаний (наблюдений) довести до нескольких тысяч.
Дисперсия и среднее квадратинеское отклонение
Дисперсия как одна из важнейших числовых характеристик случайной величины дает возможность оценить разброс значений этой случайной величины, вызываемый наличием при опыте ошибок наблюдений, неучетом колебаний условий и другими факторами.
При наличии двух рядов наблюдений одной и той же случайной величины X, в одном из которых разброс меньше, т. е. различные значения случайной величины теснее группируются около среднего значения, по самим отклонениям X —¦M (X) можно составить некоторое суждение о точности наблюдений этих рядов. Заметим, однако, что во многих случаях ошибки наблюдений бывают ничтожно малы или даже отсутствуют совсем. (Например, при определении числа бракованных изделий в суточной выработке.)
