Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
M (ft) = пр. (151)
Формула (15І) выше (см. § 15, стр. 43) была получена при решении примера, т. е. по принципу «от частного к общему». Напомним, что вероятнейшее число появлений события при многократных испытаниях согласно формуле (56)
ft0 ~ пр.
Отсюда вытекает, что математическому ожиданию соответствует наибольшая вероятность, т. е. математическое ожидание является наиболее надежным окончательным результатом, количественно характеризующим случайную величину.
Определим теперь дисперсию числа появлений события при многократных испытаниях.
По определению (140)
D(k)=- M J [A-M (ft) Iа) = Z (ki-npf р,, (152)
или
D{k)=^{U-ripf Pn(Q)+ (\-npf Pn(I) + . . .
. . . -t(n~-np?Pn(n). (153)
Выполнив несложные преобразования в правой части формулы (153), которые здесь опущены, нетрудно установить, что дисперсия биномиального распределения
D{k)^-npq, {154}
а среднее квадрэтическое отклонение числа появлений биномиального распределения соответственно
o = ^Jnpq. (155)
С учетом формул (151) и (155) выясним физический смысл переменной х, введенной формулой (77). Случайная величина в формуле (77) соответствует k, а пр соответствует M (X), поэтому имеем
Jl=JWL=-і ш (156)
о
Таким образом, раскрывается физический смысл симметричных пределов интегрирования в формуле (86); / — есть частное от деления отклонения случайной величины X от ее математического ожидания на среднее квадратическое отклонение или так называемая нормированная случайная величина; M (X) и а — параметры нормального распределения.
Если в формуле (156) M (X) получено из измерений одной и той же величины X1 то о = т — средняя квадр этическая ошибка, а t—нормированная случайная ошибка. При расчете допусков при измерениях в числителе формулы (156) в большинстве случаев будет использоваться предельная допустимая ошибка Дпред, и формула (156) примет вид
-^- (157)
т
где ta — нормированная случайная ошибка, соответствующая доверительной вероятности Ра (см. табл. 3). Данное понятие ta приводит к простым выражениям при расчете доверительных интервалов, о чем будет сказано ниже.
Эксцесс
Эксцессом в теории вероятностей называют величину, вычисляемую по формуле
? = -^-—3 (158)
и характеризующую положение вершины кривой эмпирического распределения относительно кривой нормального распределения.
В формуле (158) приняты следующие обозначения: E — эксцесс; р-4 — четвертый центральный момент; щ — второй центральный момент (ц|= 0*1.
Пользуясь формулой (139) для вычисления центральных моментов четного порядка
pj1 + ; =- (2І- 1) Jb1[I.;,
легко показать, что для теоретического (нормального) распределения эксцесс равен нулю, так как
IU _Л±_ _ (-'" + ') ту». a' "~ „-' -і
-З (i=\).
Е>0
-С E=O
Рис 5
Отклонение эксцесса эмпирического распределения от его теоретического значения, т. е. от нуля, б>дет указывать на отклонение эмпирического распределения от нормального, причем, если
?>0, распределение будет *вы-соковершннным», если ?<0— «низковерншипым» (рис. 5).
Не требует пояснений утверждение, что эмпирическое распределение может точно совпасть с нормальным по чистой случайности или при числе испытаний, неограниченно большом. Таким образом, исследователь практически всегда при вычислении эксцесса эмпирического распределении получит величину, отличную от пуля. Но дело заключается в том, можно ли считать полученное значение эксцесса несущественным при данных условиях, а следовательно, отклонение вершины кривой эмпирического распределения от вершины нормального распределения кривой— допустимым.
Для этой цели можно применять след\ющую эмпирическую формулу,* позволяющую вычислять среднее квадрат и ческое отклонение эксцесса
—1-- . (1 d9)
я(я-|-7) V
где п — число наблюдений (испытаний).
Если число наблюдений не очень мало (/1>50), эмпирическое распределение можно считать совпадающим с теоретическим (нормальным) с вероятностью 0,997 при условии
1?1<3ггг; (160)
* Формула (159) получена упрощением формулы
І 21н(я-2)(я-J) v (л-1)*(п+3)(л-5)
и обеспечивает определение <tE с ошибкой <с 2- I0~s при п .? 20 (см. Смирнов И. В.'Белугин Д. А. Теория вероятностей н математическая статистика в приложении к геодезии. M., Недра, 1969).
здесь I ? I —абсолютное значение эксцесса; о? — среднее квадра-тнческое отклонение эксцесса.
Доверительный интервал для эксцесса вычисляется, в соответствии с изложенным, в следующем порядке:
р{Е'-ІлаЕ < E < E'+taoE)^Pai (161)
где ?' — эмпирическое значение эксцесса, вычисленное по формуле
?'--?--3; (162)
V
1а выбирается в соответствии с заданной доверительной вероятностью Ра из таблиц (см. прил. I).
Асимметрия
В практике встречаются случаи, когда эмпирическая кривая распределения является как бы скошенной. В качестве числовой характеристики в этом случае применяют так называемый показатель асимметрии
S4--^, (163)
где S11 — показатель асимметрии; ц7—третий центральный момент: о3 — третья степень среднего ьвадратического отклонения
