Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Вероятность события по теореме сложения вероят-
ностей равна
ь
Р(а<;А,<&) ZPn{k). (62)
к—а
Подставим в формулу (39) факториалы п\, к\, (п—к)), вычисленные по формуле (41), получим
Pn(H)-—-—<ГУ-
і-/ * V ,——— ґ п — к \"-'"
*J2nk l—j v 2л (га-?)(—j
После сокращений имеем
?П-У. (63)
Р»{k) = -7, / V"'tf--ГТ- V. (64)
Приняв
(65)
перепишем выражение (64)
рй(*)=' А/—=—I Г—Y Г—=2—у~*.
( -\J2n V к (я - А) \ * J \п-к J
Ранее, в § 9, для вероятнейшего числа появлений события при многократных испытаниях была выведена формула (56), в соответствии с которой k0 як пр. Вместо числа появлений события к будем рассматривать отклонение его от k0, т. е.
Ak = к — пр, (66)
заменив в формуле (65) k = пр ~ Ak ч п—к = nq—Ak (из формулы (66) к = Ak + пр, но р = 1—q, следовательно, k = Ak + -(- n^nq, т. е. n~k = nq—Ak).
С учетом выражения (66) прообразуем * формулу (65)
1 /, , ДА \-np-Alt
Pn (*) -І=-- — ( 1 +
X
X(l___^-^A\ (67)
В предположении, что р и q не близки ни к нулю, ни к единице,
, Aft AA ,
при числе испытании, достаточно большом, дроби —¦ и — будут
пр ПЦ
" См. Щнго.іев Б. AJ. Математическая обработка наблюдений. M., Физ-матгнз. 1962, с. 130.
малыми величинами, а следовательно
Упростим в формуле (67) последние два множителя
Mt \- "и - ifc , ,. , /, Ak
in
(69)
Раскладывая в ряды In+ -^*-^ и In^l ——^J по степеняг
Ai- ЛЬ *
—- и ¦——, получим *
пр Hq
ДА
У пр ) пр 2п*р-V nq J nq 2пг
Aft*
(70)
Подставляя формулу (70) в (69), имеем
Д? \-яр - ** ,__ ДА А**
, . ,. / ДА А** \
- л*7-т-ДА(--—-•h ¦ . - J-
ДА1
= _ ДА-
lnfl_^.y"' + "=_H_Afc)f_^-_
Ч 'Iff / V nq
nq AA' 2 п V
Л ft"
. . . У=: ДА- —^- .
(71)
Используя свойство логарифмов, можно на основании формул (71) записать
(72)
* Из дифференциального исчисления известно
In(U-X)-*- — + . . . ; in(i
-х) =
)
Подставляя соответствующие значения последних двух сомножителей в формулу (67) из (72), получим
__ Al/'-
л/Unnpq
— Л*---т,-
- е 2п"
Sk — -
73)
но
-Aft-^A*- Л**
2п/> ' 2/іі/
— р) ДА"1 — рЛА'і
2npq 2npr
Следовательно,
Pn(k) -
1
.U-
(74)
(75)
л/ 9.^npq
Подставим в формулу (75) вместо Ak'2 выражение (k—np)2; тогда
Pn (ft)--—==-е - (76)
V 2л<ірч
Формула (76) служит дли вычисления вероятности появлений события ft раз при п испытаниях. В формуле (76) примем
(77)
х —
л/npq
Изменим число появлений k на единицу и при этом условии по формуле (77) определим приращение новой переменной х
. . k — пр - \ X -г Ax- -=-
v "Рч
х
k — пр л/npq
(78)
Вычитая в формуле (78) из верхнего выражения нижнее, полу-
чим
¦\fnPq
Формула (76) с учетом (77) и (79) примет вид
е Ах.
Подставим значение Pn (k) из формулы (80) в (62)
р(а<а(<й)-V—j=
Из (79) следует, что при п -*- оо Ax 0.
2 j.jkj j ,V" 477
Дх.
(79)
(80)
(81)
Переходя к пределу и заменяя в выражении (81) знак суммы знаком интеграла, запишем
1 " *
P(a<ft(<6)-^-7LrSe 2 dx. (82)
В формуле (82) пределы интегрирования а и Ь, относящиеся к переменной ki, заменим пределами, относящимися к переменной
к — пр V"PQ
находящейся под знаком интеграла, для чего примем
а — пр-\- a npq;
b = пр + р V npq,
где а и P — пока неизвестные сомножители. Из выражений (83) имеем
(83)
а =
а — пр V'npq
b — пр -V'прд
(84)
Сравнивая формулы (84) с (77), видим, что если а и b — пределы Изменения переменной /г, то а и р — пределы, в которых изменяется г.
Таким образом,
P(a</r,<^) = P(a<x<P)-
У2л
dx.
(85)
Из формулы (85) следует теорема Лапласа.
При достаточно большом числе независимых испытаний п вероятность появления события k( раз (в границах изменения- от а До Ь, где а -- пр -J- a У пр? и 6 = пр + P npq) стремится к определенному значению, выражаемому соотношением (85).
При практическом использовании формулы (85) в преобладающем большинстве случаев приходится иметь дело с симметричными пределами. В соответствии с этим примем: а = — t, P = + /.
Тогда формула (85) примет вид
Р(а<х<$~-±= S е * dx. (86)
У'2п Z1
В силу четности подынтегральной функции с 2
Se г dx-U" г dx. -< о
Следовательно,
Р(а<х<В)=—^-\е 2 dx. (88)
Ha основании теоремы Лейбница — Ньютона определенный интеграл с переменным верхним пределом есть непрерывная функция этого предела, первообразная по отношению к подынтегральной функции, т. е. можем записать
(89)
функция Ф (t) называется интегралом вероятностей*, или функцией нормального распределения.
Ф (!) =-
Таким образом, биномиальное распределение переменной величины
х к — пр У"Р<Г
стремится к непрерывному, нормальному распределению, когда число испытаний неограниченно возрастает, а вероятности не близки ни к нулю, пи к единице. Графически это можно представить, например, так: если число испытаний (см. рис. 2) увеличить до неограниченно большой величины, интервалы между соседними основаниями ординат на оси абсцисс уменьшатся и будут неограниченно малы. Ломаная линия при этом превратится в плавную колоколо-обрззную кривую, так называемую кривую нормального распределения. Разумеется, для приведения этих рассуждений в соответствие с (формулой (89) кривая на рис. 2 должна быть сдвинута влево так, чтобы она стала симметричной относительно оси ординат.
