Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь и далее будем обозначать прерывные случайные величины прописными латинскими буквами, а их возможные значения — соответствующими строчными буквами (например, X — случайная величина; xY, х„, хъ> . . . , Xn — возможные значения случайной величины X при /і испытаниях, рг, р2, ря, . . . , рп — соответствующие величинам Xi вероятности).
§ 11. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Для полной характеристики случайной величины недостаточно знать ее значения, а необходимо также знать вероятности, соответствующие этим значениям, т. е. ри р2, р}, . . . , рп, или ожидаемые относительные частоты (статистические вероятности) этих значений.
Всякое соотношение, при помощи которого устанавливается связь между значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называют законом распределения случайной величины.
Закон распределения прерывной случайной величины может быть задан:
1. Аналитически в виде формулы
P(Xi)=I[Xi). (57)
Примером аналитического выражения закона распределения для прерывных случайных величии может служить вероятность появлений события к раз при п испытаниях, вычисляемая по формуле (39).
В этой формуле каждому возможному значению числа появлений события ki (І = О, I, 2, 3, .... я) ставится в соответствие вероятность Pn (к).
2. Численно в виде простой таблицы распределения (табл. 2), в которой приведены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности.
* Здесь следует иметь в виду, что результаты измерении округляют до некоторого десятичного знака; поэтому практически совокупность всех результатов измерений составляет прерывную случайную величину.
Таблица 2
*1
"з
І
...........I гп
І
"і
"і
"г
°з
Таблицу распределения часто называют также рядом распределения случайной величины X.
3. Графически в виде так называемого многоугольника распределения.
Многоугольником распределения называется графическое изображение таблицы распределения в прямоугольных координатах, где по оси абсцисс откладываются значения Xi случайной величины X, а по оси ординат — соответствующие им вероятности pt.
При и е р. По данным табл. I <§ 9) построить многоугольник распределен я ¦
Решение. По оси ординат (рис, 1) откладывают р,, приняв S единиц числителя соответствующими 0.256 см, по оси абсцисс — числа ошибок, принял одно появление ошибки соответствующим 0,49 см. Концы ординат на графике — многоугольнике распределения соединяют отрезками прямых.
Часто результаты исследований задаются в виде интервальных статистических рядов. В этих случаях для графического представления полученных результатов используется гистограмма.
Пример". Результаты исследования прочности 200 образцов бетона па сжатие представлены в таблице:
Интервалы прочности Ах. к г/с W *
Число UOHbJfCH nfl.
*.
отнґ>с нтелыгыс
?.
190—200
10
0,05
200—210
20
0.13
210—220
50
0,28
220-231)
G4
0,32
230-240
30
0.15
240—250
14
0,07
N - 200
1,00
* Пример заимствован из учебного пособия Л. И. Герасимовича, Я- И. Матееееой вТеория вероятностей и математическая статистика>. Минск, изд. БПИ, 1975, с. 12—13.
Построить гистограмму относительных частот Q1 распределения.
Решение. На оси абсцисс откладываем значения интервалов и па каждом интервале как на основании Ax строим прямоугольник, площадь кото-
Qi
, с высотой hi —
Л ж
Пол у-
рого пропорциональна относительной частоте ценный 14-уголт,пик называется гистограммой (рис. 2).
Bt
Перейдем к рассмотрению способа задания закона распределения, который подходил бы как для прерывных, так и для непрерывных случайных величин, в чем почти всегда возникает необхо-
Si ,
димость. С этой целью удобно иметь дело с вероятностью случайной величины Х<с* (а не X = х, как это имело место в законе распределения прерывных случайных величин). -^1 Функцию вида
F(x)-P(X<:x) (58)
230 х,!:г/сч' называют функцией !"распределения случайной ве-2 личины X или интегральной фун-
кцией распределения. Так, для случайной величины с биномиальным распределением функция распределения примет вид
Ax
0,02
0,0!
О
и
то
Рис.
F(x) - 2, СпЯ P-
к<х
(59)
В дальнейшем мы будем рассматривать только такие непрерывные случайные величины, функция распределения которых непрерывна и дифференцируема, т. е.
Hm
F(x+Ax)-F(x)
Ax
= Ї (X).
(СО)
Производная функции распределения называется плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X*.
§ 12. ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ПЛОТНОСТЬ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Для вычисления вероятностей появлений события k раз при Il независимых многократных испытаниях в § 8 была получена формула (39). Поставим задачу получить вероятность появления события, если k — число появлений изменяется в пределах от а до Ь, причем
_ a<kj<zk1<k3<: . . .<zkw<b. (61)
* Иногда ее называют «плотность вероятности», «дифференциальиая функция распределения*, «дифференциальный закон распределения».
