Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Учитывая рассмотренный частный случай, можем написать для любой случайной величины X, подчиняющейся закону нормального распределения
PK=~e-*'*dz. (174)
л/л
г Ч
he— h-i'
rx\ =-- -
Где
Pl>=.J=le-h'dz, (175)
УЛ її
г X-M(X), Zi х.-М(Х).
Однако Осли в форматах (172) и (17J) параметр На нам известен, то в формулах (174) и (175) параметр h остается пока неизвестным. Выясним его смысл.
Очевидно, что вероятности разных значений случайной величины зависят от степени разброса этих значении. Поэтому должка существовать связь параметра h с характеристикой указанного разброса, т. е. с дисперсией а2. Установим эту связь.
По определению дисперсии (140) и (143)
D(X) .-о1=-M | (A'-Al (X)]1L Но X — M (X) = г, поэтому
о2 = M (г2),
т. е.
о2 = ?e~*vdz. (176)
Возьмем интеграл
-J- DC -]~0D -{-OO
учитывая, что Выражение
de~ -2/гаг
можно проинтегрировать по частям
S zde-^'-ze-** i _ S e-ll'*dz. (178)
--00 —х> —со
Применяя правило Лопиталя, получим
ze~ I - Hm - lim -т&-^
= lim - Um ^rW = O. (179)
z_*+go 2h ге 2-*-—сп Жге"
Равенство (178) теперь перепишем так
t^_ftjl1- -te"""^-- (180)
Обозначая
H- и, (181)
откуда
dz--^-, (182)
h
и учитывая, что пределы интегрирования не изменятся, получим
—і» л —ж 'і
так как
+а) -
Л е "'^и^-д/л (интеграл Пуассона). (184)
Обращаясь теперь к формуле (177), получим
-« I 2/1 * А /і / 2Л3
(185)
и, наконец, согласно выражению (176)
о2-
I
2ft* или
/Iа
2<тг
(186)
Формулы (186) устанавливают связь параметра закона нормального распределения значений любой случайной величины с ее дисперсией.
Выразим теперь Л2 через о2 и Л через о в формуле (174)
1 ( г \*
А о л/2: 60
2 е 2 0 dz. (187)
Обозначим
= х:
dx.
(188)
Тогда получим
P* =
1 -~
V2ji 2
dx - Ф (О,
(189)
У2я о
где ± * — пределы интегрирования и аргумент функции интеграла вероятностей, значения которого даны в прил. 1, в соответствии с формулой (89).
Таким образом, для получения интегралов вероятностей для любой случайной величины X необходимо знать M (X) и среднее квадратическое отклонение распределения о. Тогда аргументами функции Ф (/), а стало быть и соответствующих таблиц будут служить нормированные случайные величины, которые иногда называют нормированными значениями, коэффициентом кратности
/ = —,
о
(190)
где
Z = X-M(X).
Выше, в § 15, выясняя физический смысл симметричных пределов интегрирования + t в формуле (86), мы путем логических рассуждений пришли к тому же самому, выраженному формулами (156) и (157).
Полученные формулы (186), (189) и (190) имеют исключительно важное значение для практики. Они позволяют пользоваться законом нормального распределения для решения задач, связанных с любыми случайными величинами X, подчиняющимися этому закону. Для определения аргумента
,t _ X1-M(X) (191)
о
интегральной функции распределения или интеграла вероятностей необходимо знать две основные характеристики M (X) и ог = = M \ [X-M (X)]2}. Точность этих двух параметров, а следовательно, и эффективность применения теории вероятностей зависит от числа наблюдений случайной величины. При малом числе наблюдений полученные результаты исследования будут ненадежны.
§ 17. ПОНЯТИЕ О ДРУГИХ ВИДАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Практика показывает, что при анализе экспериментальных данных рассмотренные выше распределения — биномиальное и нормальное — не исчерпывают вопроса, так как иногда приходится иметь дело с наблюдаемыми величинами, по своей природе не подчиняющимися этим законам. Примером могут служить ошибки округлений, которые в некотором интервале распределяются равномерно .
Рассмотрим некоторые из распределений, связанных с нормальным.
Распределение Пуассона Вывод формулы (76)
j і*— "/>)'
Pn (k) = , е ~2п"ч
¦у 2л npq
базировался на предположении, что вероятность р постоянна и не близка к нулю (или единице). Если последнее условие о величине р не выполнено, формулу (76) применять нельзя; в этом случае Pn (k) следует вычислять по формуле
Pn (ft)
(192)
где k0 — вероятнейшее число появлений события при многократных испытаниях (ft0 пр).
Распределением Пуассона, или распределением редких событий, называется распределение случайной величины X, при котором она может принимать только целочисленные значения A = O, 1, 2, 3 ... с вероятностями, определяемыми формулой (192), причем kb як пр небольшое, а п — число испытаний очень велико.
Функция распределения в данном случае имеет вид
P (X = к) = е-Ъ v — • (193)
I=L
Заметим, что математическое ожидание и дисперсия случайной величины в этом случае равны параметру распределения Пуассона, т. е.
M(X) = D (X) -пр. (194)
Среднее квадратическое отклонение случайной величины в случае распределения Пуассона равно
о = фпр~. (195)
Приме р*. Предполагая, что число частиц золота, находящихся во взвешенном состоянии в растворе, распределяется по закону Пуассона, найти выражение этого закона по распределению частий золота, найлюдан-шихся через 2 с в оптически изолированной части пространств, приведенному в табл. 6.
