МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
^ - її (jc, O1 С) -Ь (х, 0, Ц |... (7.2.20)
Пользуясь тем, что ^7 " "1~(БГ * а aVaddZ = EaxaQd^t найдем, что вклад низшей степени в 6IP связан с членами порядка s^1 гв v*S и В1:
(Vl)-I = ^;
(Bl)-i = — \в\ J^- H- ^0^- ^Cw] і
;в то время как член |- у V=?0V' имеет нулевой порядок по б. Отсюда следует, что низший порядок OW — это е-1:
SW-, ~ \ J dxdiA {| BL11* + Tp0 і (V -(7.2.21)
106
Эти положительные члены в можно приравнять нулю, если
-взять fdx = 0. Так как это условие должно быть справедливо по всей области — Г<л<1, то из граничного условия (7.2.18) следует, что
$ =- 0. (7,2.22)
'Физически это означает, что течение, соответствующее главному порядку по ет и его поперечный к магнитным поверхностям градиент должны быть подавлетты, чтобы устранить сильное сжатие, которое резко увеличивает как термодинамическую, так и магнитную энергию.
Вопрос 7.2.1. Почему нельзя устранить сжатие с помощью громадных потоков, параллельных магнитным поверхностям, так что р., т}~0(е~Ч?
Переходя к следующему порядку по є, можно найти, что часть В1 и у*§ нулевого по е порядка имеет вид:
о*1)» - № - в° яг*] е°°+[- ff - *] ад <7-2-23>
^ 5s- ^ H- №>'Vfc> + Bo-Vb)[P'. (7.2.24)
Это можно показать просто подстановкой, при условии, что член нулевого порядка (|-у ^)0 = S1J исчезает. Комбинация этих полей
•образует вклад первого порядка в бW, аналогичный но форме ¦с (7.2.21), и его можно устранить, если B^1 —/?1 =0 и (уSb = O-
.Условке исчезновения этих компонент магнитного поля дает
B0-V^-o (7.2.25)
Применяя последнее условие по всей области —1<я<1, получаем
.B0.v^ = 0. (7,2.26)
Уравнения (7.2.25) и (7.2.26) означают, что основные неисче-зающие порядки радиального возмущения 1\ и радиального
электрического поля \ха однородны вдоль каждой силовой линии магнитного поля B0 на резонансной поверхности. Однако на поверхности в перпендикулярном к силовой линии направлении, а также в направлении, перпендикулярном к магнитным поверхностям, они могут изменяться произвольным образом. Различные силовые линии на резонансной поверхности фактически независимы. Вследствие этого па резонансной поверхности полезно выбрать координату, которая была бы постоянна вдоль каждой сило-
107
БОЙ ЛИНИИ
и-тЬ^п^, (7.2.27)
так что из равенства (7.2.16) следует
B0 vtt- m?l-nBo-0. (7.2.28)
Распространим эту координату и на все магнитные поверхности, так чтобы на них выполнялось (7.2.28), но при этом Во все же означало магнитное поле па резонансной поверхности. При использовании этой новой координаты соотношения (7.2.25) и (7,2.26) сводятся к
Н = М*> и); (7.2.29)
Ef= \Х(х, и). (7.2.,3O)
Полагая затем (у-|)о=0, из (7,2.24) найдем
riQ - Tj0(X, «)• (7.2.31)
Опять используя (7.2.24) и получаем
+ -^^»- 0. (7.2.32)
OX OU х f
Критерий Мсрсье получается из минимизации 6W в следующем порядке по е. Чтобы проделать ее, разложим возмущенное магнитное поле В1 по трем ортогональным векторам у V0, B0, BoXy ^о-Как показатто Грином и Джонсоном [1], а также Мерсьс и Люком [3], можно так подобрать течение вдоль резонансной магнитной поверхности, что в этом порядке не будет сжатия
її что в первом члене OW (7.2.1) исчезнет компонента, параллель-пая полю B0:
B0 ¦ (Bj + tfJo x vVo/l VV7O H) 0. (7.2.34)
причем Э'Ю не повлияет па минимизацию по оставшимся компонентам смещения. Остается минимизировать только выражение
где Ко — выражение (7.2.3), вычисленное па резонансной поверхности.
Чтобы найти два других компонента возмущенного магнитного поля, используем (7.2.14) и (7.2.8):
Bi-B-V^e17 i -Jr[B.W-r(?«?: ^A*) J-:-
108
J. w + jz± (FB*) + P7^ {*ГВ<)] В.
~: P' .
Вычисляя необходимые компоненты В1 до первого порядка ПО g, !найдем, что
(B-v^)i - B0-V^ (X, и) — О
и
РЧв.хуи!| ~= Bo*Wi+ BrV^o " {BlBl-BbBi)x, (7.2.36)
где В = В(х). Используя (7.2.29), (7.2.32) и (7.2.16), можно показать, что
Br VPo = х (Во I Bl^jm(X, и) = xS0-^~ f
где
S0-—ВІВц — Bq Во- (7,2.37)
так называемый глобальный шир. После всех этих выкладок вклад третьего порядка в bW сводится к
- ^dXdMl {-LJ B0-VPi 0 l2-^o wt] , (7.2.38)
г Де
О = Sb^-xili ! J0-B0/] у V0 \\
N = В%\\ vV012-
Минимизируем это выражение для би7* сначала по отношению к
G = B0-VPi. а (7.2.39)
а загсм по отношению к \\. Уравнение (7.2.39) называется могши ним дифференциальным уравнением для щ при заданных сг и Bp. Если ро известно в некоторой точке па сИловой линии B0, то его величина в любой другой точке вдоль той же силовой линии равна
t
Pi-$ Tiff" ~ I'=0' (7.2.40)
где / —длина дуги вдоль силовой линии. Для того чтобы [Jt1 было однозначной величиной на любой замкнутой силовой линии B0, <j должна удовлетворять условию
109
Поэтому минимизация 6WZ по отношению к а должна выполняться с использованием (7.2.41) в качестве ограничения. Это ограничение, эквивалентное
в I
можно учесть при минимизации с помощью вариационного принципа
5 [та Ч- J dVdbdQ (V\ и) a (V, Ь, C)J = 0, (7,2.42>
где Л —лагранжев множитель, который должен быть определена в дальнейшем. Такая вариация приводит к равенству
