Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Энергетика -> Бейтман Г. -> "МГД-Неустойчивости" -> 39

МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.

Бейтман Г. МГД-Неустойчивости. Под редакцией Шафранова В.Д. — М.: Энергоиздат, 1982. — 198 c.
Скачать (прямая ссылка): mgdneust1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 84 >> Следующая

93
б области r<r? с выражением (6.5.5), необходимо потребовать выполнения следующего условия:
I —
С*
(6.5,9)
Эта формула для инкремента работает достаточно хорошо в том случае, когда резонансная поверхность /\ расположена в области с большим широм и достаточно далеко от начала координат. Когда резонансная поверхность расположена вблизи начала координат (r6—rQ)y как показано на рис. 6.6, формула (6.5.9) становится совершенно не применимой и в этом случае необходимо пользоваться результатами численных расчетов.
Неустойчивости с ш>2. Для мод с т>2 слагаемое g в (6.4.4), приводящее к раскачке неустойчивости, отрицательно лишь в узкой области значений q:
(6.5.10)
В случае равновесия с большим широм (q быстро меняется с г) эта неустойчивость развивается только в тонком слое вблизи от резонансной поверхности. Отсюда следует, что моды с т>2 локализованы вблизи резонансных поверхностей и имеют малый инкремент.
Численные расчеты показывают, что такие высшие моды полностью стабилизируются большим широм и большим аспектным отношением. Инкремент быстро спадает с ростом номера моды и длины волны, что показано на рис. 6.6.
Неустойчивости с большим числом радиальных узлов. В прямом плазменном цилиндре каждая собственная функция характеризуется тремя волновыми числами (A, m, п). Продольное волновое число к, которое обратно пропорционально продольной длине волны (k — 2л/Л). и пологі да льны и помер моды т уже рассматривались ранее. Теперь мы рассмотрим собственные функции с различными номерами радиальных мод я, где п—числа узловых линий (?j=0)> окружающих начало координат. Для любых заданных волновых чисел к
Ркс. 6,6. Инкременты неустойчивостей плазмы с закрепленной границей н круглом цилиндре при умеренном шире н рэзличттглх аспектних отношениях. Цифры у кривых соответствуют разным аспектным отношениям
'Час*
94
и т существует бесконечное число радиальных мод, соответствующих устойчивым колебаниям, а также может быть конечное или бесконечное число радиальных мод, соответствующих различным неустойчивым собственным функциям.
В работе Гуд б л уда н С а канаки [2] доказано, что для любых заданных значений тик неустойчивая собственная функция с большим числом узлов по радиусу имеет меньший инкремент. Собственная функция без узловых точек по радиусу (п^О) всегда наиболее неустойчива, если она неустойчива вообще. Эта теорема справедлива для прямого цилиндра и не верпа для гофрированного цилиндра и некоторых тороидальных конфигураций с замкнутыми силовыми линиями.
Набор собственных функций с т=1, с последовательно возрастающим числом узлов, показан на рис. 6.7. Видно, что радиальные колебания локализованы в окрестности резонансной поверхности. Если какая-либо из мод, локализованных вблизи резонанс-нон поверхности, оказывается неустойчивой, то неустойчивой будет и соответствующая крупномасштабная мода, не имеющая нулей внутри интервала. Локализованные неустойчивости будут стабилизированы раньше, чем мы сможем стабилизировать крупномасштабную неустойчивость. Для заданных полоидального и продольного волновых чисел любой локальный критерий устойчивости всегда является необходимым условием устойчивости также и крупномасштабных колебаний.
Критерий устойчивости для мод, локализованных вблизи резонансной поверхности, был получен Сайдемом (4]. Для того чтобы минимизировать внутреннюю часть потенциальной энергии oW/ (6.4.4), Сайдем воспользовался уравнением Эйлера (6.5.2). Для подбора решений, локализованных в непосредственной близости от резонансной поверхности г = г*.» коэффициенты в уравнении Эйлера раскладывались в ряд Тейлора по x = r—rs. В первом приближении по этому разложению уравнение Эйлера выглядит следующим образом:
(хЧ'г)' г-ОЛ- О,
(6.5.11)
г
Рис 6^7. Радиальные зависимости позмущений %т{Г) с различным числом узлов по радиусу для неустойчивости Wi= 1 в плазме с закрепленной границей. Из работы {2]
95
где
Os=-^ 11T- (6.5.12)
— слагаемое, приводящее к неустойчивости. Решение этого уравнения имеет вид
jc* , (6.5.13)
где 5 определяется уравнением
s{s\-\)^Ds 0; 5 -~~[-1±(1 -4/),)^2 ]. (6.5.14)
Так как действительная часть s отрицательна, то решение (6.5.13) имеет особенность на резонансной поверхности jc = 0. Если обрезать эти решения на произвольно малом расстоянии от резонансной поверхности, то мы получим хорошие пробные функции, почти везде близкие к тем, которые дают минимум для 6Wf и ко-1 торьте можно снова подставлять в бдля исследования устойчивости. Возмущения оказываются устойчивыми (oW/>0) при -D*<l/4 и неустойчивыми при Z)o>l/4. Неустойчивые собственные функции представляют собой решения, осциллирующие по ради-1 усу, частота осцилляции и амплитуда которых бесконечно нарастают при Jt-M):
E, = *-^cos[-±-(4D,~- I)1'2 In л - I-?] {1 -г...}. (6.5.15)
Критерий устойчивости Сайдема ??5<1/4 обычно записывают в виде
W№>-fyp'lrBl- (6.5.16)
Этот результат был обобщен в работе В. Д. Шафранова [1] с целью учета влияния конечного аспектного отношения. Метод, который использовался при выводе критерия Сайдема, потребуется снова при выводе критерия Мерсьс в произвольной тороидальной геометрии (см. § 7.2) и критерия устойчивости по отношению к рези-стивной желобковой неустойчивости (см. § 10.4).
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 84 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed