МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Вопрос 6.5.2. Градиент давления раскачивает неустойчивость Сайдема, а шир {q'iq}2 стремится стабилизировать ее. Эффективна ли стабилизация шпром вблизи г = 0? Будет ли она эффективна, если профиль давления в этом месге плоский? Если неустойчивость вызывает конвекцию, которая выравнивает профиль давления, то может ли іти давать эффект самостабилизации?
Вопрос 6.5.3. Б выражении для bWf (6.4.4) Еґ содержится только в положительно определенных слагаемых. Пробные функции для неустойчивости Сайдема быстро осциллируют по радиусу так, что f(cr )а велико. Каким образом такая собственная функция может быть неустойчивой? *
§6.6. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ
Когда говорят о плазме со свободной границей, обычно подразумевают резкую границу между идеально проводящей плазмой и
96
вакуумной областью, окружающей плазму. Фактически подразумевается скачок на профиле проводимости, так как в вакууме проводимость равна нулю. Встречающееся в литературе (см,, например, i[l]) четкое деление неустойчивостей на неустойчивости со свободной границей, при которых происходит деформация поверхности плазмы, и неустойчивости с закрепленной границей, которые могут приводить па поверхности плазмы только к потокам, параллельным границе, является существенным лишь в случае широких профилей плотности тока. Такое разделение совершенно естественно, например, для однородного профиля тока, при котором инкременты неустойчивостей со свободной границей гораздо выше, чем инкременты внутренних неустойчивостей, и их области устойчивости несколько различаются (см., например, [G]). Однако это различие фактически исчезает для резко пикированных профилей тока, когда высшие полоидальные моды т стабилизируются широм, а неустойчивость т=\ со свободной границей можно рассматривать как естественное продолжение внутренней неустойчивости т = \ при q<\ на границе плазмы. При этом значения q внутри плазмы много меньше единицы.
В цилиндрической плазме со свободной границей рассматриваются три типа идеальных МГД-неустойчивостей.
Неустойчивость т=\ со свободной границей можно выделить на том основании, что она развивается вне зависимости от профиля тока, когда на границе плазмы выполнено условие q<l (в плазме с низким значением ?). Это критерий устойчивости Крускала—Шафранова, который можно легко получить, заметив, что в пределе большого аспектного отношения fc2ra<g;l внутренняя часть потенциальной энергии (6.4.4) пренебрежимо мала по сравнению с поверхностной (6,4.5) и вакуумной (G.4.2) частями. Из условия 6W^ ^OTC7TWi^0 можно найти область неустойчивости
4 <<?<.<'• (6-6л)
г
где а —радиус плазмы; rf7 — радиус идеально проводящей стенки и qa— величина q на границе плазмы. Нижвяя граница величины q возникает из-за стабилизирующего влияния стенки: токи отражения на стенке создают силы, которые препятствуют развитию винтовых возмущений. Инкремент неустойчивости можно оценить, полагая, что винтовое возмущение плазменного шнура можно представить как смещение каждого поперечного сечения как целого при отсутствии продольного движения. Кинетическая энергия, приходящаяся на одну длину волны /*, сводится к
КЭ - - ^ d* Xf>T212 ~ (р) 7* \1 ъа? X, (6.6.2)
где <(р) ¦—средняя по объему плотность внутри плазменного шнура. Инкремент можно получить, приравнивая эту кинетическую
7 з<!к [ W)O 97
энергию потенциальной энергии возмущений
(6.6.3)
„2
Второй тип неустойчивостей со свободной границей, с т^=2,, хорошо стабилизируется широм, подобно неустойчивостям, которые могут существовать на границе плазмы с пикированным профилем тока [16]. Для модельного равновесия это было показано* аналитически В. Д. Шафрановым в работе [1] и обычно наблюдается в численных расчетах. Эта стабилизация очень чувствительна к ширу\
Третий тип неустойчивостей со свободной границей называется неустойчивостью отслаивания (peeling) и существует только в том случае, когда плотность тока или одна из первых ее производных. имеет разрыв на границе плазмы, Как следует из ее названия,, эта неустойчивость должна приводить к отделению поверхности' плазмы в виде тонкого слоя. Неустойчивость отслаивания была' впервые введена в работе [15] и обсуждается в обзорной статье-Вессона [16] по линейным МГД-неустойчивостям,
Вопрос 6.6.1. Предположим, что вакуумная область заменена идеально проводящей плазмой, в которой равновесный ток отсутствует. Как это повлияет на неустойчивость моды т=1 в плазме со свободной границей?
Вопрос 6.6.2. Может ли внутренняя неустойчивость существовать одновременно с неустойчивостью плазмы со свободной границей? Будут ли они совершенно независимы?
§ 6.7. РЕЗЮМЕ
Для определения инкрементов и пространственной структуры: МГД-неустойчивостей в круглом плазменном цилиндре лучше всего использовать уравнения на собственные функции (6.3,5) и (6.3.6). Для исследования равновесия на устойчивость можно использовать также и энергетический принцип.
При заданном продольном волновом числе А неустойчивости в круглом цилиндре различаются по их азимутальному волновому числу т и радиальному номеру моды п.
