Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Энергетика -> Бейтман Г. -> "МГД-Неустойчивости" -> 42

МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.

Бейтман Г. МГД-Неустойчивости. Под редакцией Шафранова В.Д. — М.: Энергоиздат, 1982. — 198 c.
Скачать (прямая ссылка): mgdneust1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 84 >> Следующая

величина, обратная якобиану, которая связана с элементом дифференциального объема в декартовых координатах
dxdydz =d№d№d№jD„
Любой вектор мончст быть выражен как контранариантные компоненты ах
а =¦ а1 е j, a' = a-ef
или коварнантные компоненты а}, а = а,е\ а, = а-ег. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Для преобразований между ковариантными п контравариантными компонен-
* Только при наличии осевой симметрии — Примеч. ред*
100
тами используется метрический тензор ^,¦J = C1 ¦e^ ?;-' = e'-eJ; а = Отметим, что
W:"l- I ol3-
Приведем слисок основных тождеств:
(a x b)1 -- (а>Ь3 — а2Ь2) D и перестановки индексов; (а x b)L=- (я^3 — a-b^jD и перестановки;
V(Oe1)-0;
V x е1 — 0;
(v X а)1 = (^- - ^jD и перестановки;
v db'U ()0-7
Теперь выберем систему натуральных координат (V, O1 ?), в которой V — объем, охватываемый каждой тороидальной магнитной поверхностью; 6 соответствует углу вдоль малого обхода, а ? — углу вдоль большого обхода по тору. Предполагается, что тороидальные поверхности являются вложенными, по крайней мере, локально. Координату V можно заменить любой другой поверхностной величиной, однозначно маркирующей магнитные поверхности, например полоидальный или тороидальным потоком. Координатные линии постоянных O н ? можно деформировать произвольно iipjv условии их замыкания на себя при одном обходе по тору в каждом направлении, Обычно предполагается, что 0 и J; возрастают на единицу при обходе тора в соответствующих направлениях.
Так как силовые линии магнитного поля лежат па магнитных поверхностях (B-^ V = O), магнитное поле можно записать в виде
В -= B*^ x \V;D ?tvV x (7лл)
где B0, — контравариаптпые компоненты В, a D — величина, обратная якобиану. При этом из условия
д Яе , о В*
В D
on D ' Oi D
-0 (7.1.2)
101
следует, что магнитное поле может быть записано с помощью функции потока v
UL ol. ff. — д* D ' D ~ № х
(7.U3)
где \(Vy 9, ?) может быть многозначной функцией углов 0 и ?. Если V была бы квадратичной по 0 и ? или функцией более высоких степеней, то результирующее магнитное поле было бы неоднозначным. Поэтому V должна быть суммой членов, линейных или периодических по в и ?. В частности, из (7.1.1) и (7.1.3) следует, что
V вфтор (V) - C7V1 (V) -г Ь (1Л б, С), (7.1.5)
где h — периодическая: функция O и ?, а іЬІГ0Л, ^тор — полоидаль-ный и тороидальный потоки, определенные ранее в (4.2.1) и (4.2.2). Для того чтобы продемонстрировать справедливость этого для
коэффициентов ib (7,1.5), вычислим
V I dV 11 Il
Вопрос 7.1.1- Как определить периодическую функцию k(V, 6, для заданных магнитного поля и натуральной системы координат? Предположим, что поверхности и потоки зафиксированы, а /. подбирается так, чтобы минимизиро^ вать магнитную энергию, Какое условие налагает такая минимизация на плотность тока?
До сих пор углы O и Z были произвольными. Теперь будем деформировать координатную сетку так, чтобы исключить периодическую функцию X:
или
Отсюда следует, что а
В = Іар (V) X Vo + {V) X V ^ (7-1 -7)
Если какую-либо магнитную поверхность разрезать н сделать плоской, так чтобы углы в и \ образовывали декартову сетку, как показано на рис. 7.1, то можно видеть, что магнитные поля всюду [указывают дано и то же направление, так что силовые линии будут выглядеть прямыми. Из этой картины становится ясно, что q является не чем иным, как отношением контравариантных
і
102
Рис. 7 1. Тороидальная магнитная поверхность, развернутая в ллос-кость. При соответствующем выборе координат 6Т s силовые линии выглядят прямыми
-.компонент В:
д = & jB* = Фтор/'?пол = d^/d^mxt (7.1.8)
-как и раньше в § 4.3. Более детально эти натуральные координаты, а также некоторые другие рассмотрены в работе Л. С. Соловьева и В. Д. Шафранова [7].
Для того чтобы построить координаты Хамады, которые наиболее часто встречаются в литературе, необходимо выполнить еще два условия. Во-первых, якобиан должен быть всюду нормализован на единицу
?>=-уК-уО X VC = 1, (7.1.9)
так что dxdydz=dVd§a%. Доказательство того, что координатную систему при выполнении р'(V)=^O можно всегда сдеформнровать так, чтобы удовлетворить (7.1.9), достаточно подробно обсуждалось Грином и Джонсоном [1] и Л. С. Соловьевым и В. Д. Шафрановым [7].
Рассмотренные выше натуральные координаты можно использовать для любого магнитного ноля с вложенными магнитными поверхностями. Второе условие, связанное с координатами Хамады, состоит в том, что магнитное поле должно соответствовать МГД-равновесию (JxB= ур). Тогда линии плотности тока, так же как и магнитные силовые линии, выглядят как прямые линии на плоскости 6, ?. Чтобы показать это, воспользуемся тем, что при МГД-равновесии ток не протекает сквозь магнитные поверхности, и запишем
J = J*rf> Xv^r JZ?V X V9- (ТАЛО)
где J°, пока являются некоторыми функциями V,, 6, ?. При і? — 1 магнитное поле имеет вид:
B= В* (V)^X yV + & Wv^X vo>
где В9 (V) = фп01 (V), 5е (V) = Фтор (V)- Условие равновесия
J X B= у р означает
J* Bt(V) - Ус 5» (V)- p'(V). (7.1.11)
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 84 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed