МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
где G. и ,V определены с помощью (7.2.38). Если использовать условие (7.2.41), то
л = - 2 (Q)I(N)1
где для обозначения усредненных вдоль силовой линии велична введен символ {...} = (JJ- j ^ -¦ * • J |д~ * После этой минимизации 6W3 принимает вид:
(7.2.43)
где Ц\)=1\ ,так как ^ =и).
Теперь уже 6W^ упрощено так, что все коэффициенты являются числовыми константами, не зависящими от х. Окончательную1 минимизацию можно выполнить, положив
E1" (х, и) - I (X)/(и), (7.2.44).
где f(u)—произвольное изменение возмущения в пределах магнитной поверхности в направлетиш, перпендикулярном к магнитному полю B0, Теперь можно построить пробную функцию ?;(#),, которая идентична пробной функции, использовавшейся при выводе критерия Сайдема (6.5.16). В частности, можно применить неравенство
^dx[±(xl)f>±-^dxl\ (7.2.45)
в котором с помощью минимизирующей функции можно приблизиться как угодно близко к равенству (см, [1, приложение III]). При этом из (7.2.43)—-(7.2.45) и вытекает критерий устойчивости Мерсье
[4 SQ + (J0-B0/! Vl/ p>J ¦f (K0) (Bill vl/o I2) > 0, (7.2.46>
110
где глобальный шир S0 и вызывающий неустойчивость член Доопределены выражениями (7.2.37) и (7.2.3) применительно к резонансной поверхности.
Чаще используется выражение для критерия Мерсье, выведенное JL С. Соловьевым [4], который показал, что член (/Сд) можно представить в виде
<*Го) = - Ь - Зо> (7.2.47)
где
Q0^JlBl-Ji)Bl (7.2.48);
известна как мера магнитной ямы. Критерий Мерсье теперь можно записать в форме
¦|54 5(j.?;] vv р> - Q <в*;\ vi/1*> -
- W Iй) <Я2/1 \2) - (j - В/| XV > 0. (7.2.49)
Этот необходимый критерий можно применять на любой рациональной поверхности внутри плазмы. Возвращаясь к символам, используемым в этом выражении, напомним, что
S = В*В* -В'* & = (B6)2 ^ q (V)
— это величина шира магнитного поля, где B^ =tyno:i(V); В*= фтор (У); символ
^ ' — У \в\ I У\в\ означает среднее вдоль силовой линии на рациональной поверхности; V — объем (или какая-либо другая метка) магнитных
ч
поверхностей; J, В — равновесные плотность тока и магнитное поле на рациональной поверхности, a Q = J8B^ — J*Be —характеристика МаГНИТНОЙ ЯМЫ, ГДЄ /Є-=Ліо.і (V), / = ^тор(^Ь
Я признателен Гюнтеру Шпизу за краткое и четкое введение в натуральные координаты, а также Джону Джонсону и Давиду Нельсону за консультации по выводу критерия Мерсье.
§ 7.3, ПРИМЕНЕНИЯ КРИТЕРИЯ МЕРСЬЕ
Формальные выражения (7.2.49) и (7.2.46), выведенные только что для критерия Мерсье, применимы для любой плазмы, удерживаемой магнитным полем при налички вложенных магнитных поверхностей и шира. Однако когда говорят о критерии ,Мерсье, часто ссылаются на одно из упрощенных выражений, представляющее его приближение для конкретных равновесий. Наиболее широко используемое приближенное выражение для критерия Мерсье — это выражение, полученное В. Д. Шафрановым и
Ш
Э. И, Юрченко [11] для осеспмметричных токамаков большого аспектного отношения, низкого ? и круглого сечения:
где г —малый радиус магнитных поверхностей, предполагаемых круглыми, а 5Ф — тороидальная компонента магнитного поля, вычисленная на магнитной осп. Выражение (7.3Л) учитывает то, что внутренние поверхности смещены относительно внешних поверхностей наружу вдоль большого радиуса,
Первый член в (7.3.1) представляет стабилизирующий эффект щира — точно такой же, как в критерии Сайдема. Если давление спадает при удалении от магнитной оси, то второй член является стабилизирующим, если <?а>1, н дестабилизирующим, если д2<\, — точно так же, как в условии Крускала—Шафранова. Эта зависимость от цг отличает тороидальный критерий Мереье от критерия Сайдема для прямого цилиндра. Согласно В. Д. Шафранову и Э. И. Юрченко 1-11] этот стабилизирующий, член с цг является результатом комбинации трех эффектов.
1. Усредненная тороидальная кривизна является стабилизирующей. Чтобы увидеть это, можно аппроксимировать кривизну силовой линии выражением
где в — угол вдоль круглой магнитной поверхности радиуса г. Первый член—-это полоидальнан кривизна с радиусом кривизны г, а второй — тороидальная кривизна с радиусом кривизны /?. Влияние кривизны на потенциальную энергию видно в последнем члене (5.4.9). Так как радиальная компонента возмущения в основном однородна вдоль силовых линий вблизи рациональной поверхности, полоидальнан часть кривизны дает дестабилизирующий вклад в (5.4.9). Однако тороидальная кривизна даст стабилизирующий (отрицательный) вклад па внутренней части тора, где она максимальна, и дестабилизирующий вклад на внешней стороне, где она меньше, так что средний эффект я вл я ется ст а б и л изир у тощ и м.
2. Существует эффект магнитной ямы, так как внутренние поверхности смещены наружу вдоль большого радиуса, располагаясь в области более слабого тороидального магнитного поля. В результате радиальное возмущение стремится вытолкнуть плазму в область более сильного магнитного поля.
3. Полоидальное изменение угла наклона силовых линий дает небольшой стабилизирующий эффект. Необходимо помнить, од-нако, что эта концепция стабилизации магнитной ямой и кривизной
