Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Энергетика -> Бейтман Г. -> "МГД-Неустойчивости" -> 38

МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.

Бейтман Г. МГД-Неустойчивости. Под редакцией Шафранова В.Д. — М.: Энергоиздат, 1982. — 198 c.
Скачать (прямая ссылка): mgdneust1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 84 >> Следующая

W- Wf-W^-W^ (6-4-3)
90
а
о
(6.4.4)
ksr2 (Ir
f - гВ\ {m - Ttqfhi (m" Л- № r*); Н\ r
— — (m — nqf —a , '» * H
U7
т: .2 „2 <ff? — ng)B — 2ffl (m — nq) fl " 2^fl ^°0 ^ -u А1 г3 —
г —a
(6.4.5)
Если в равповесип имеется поверхностный ток, то необходимо учесть дополнительный вклад от (5.4.6).
В пределе длинного н тонкого цилиндра AV2< 1 (так называемый предел большого аспектного отношения) слагаемое, приводящее к неустойчивости, можно упростить:
g
Bi
{т2— 1) (rtq - т)2
2^?гг3 dp
В2
для т > 2;
В
k2 г2
для т
3(nq- \ f-Ar(nq - 1) 1.
]
Bl rar\
(6.4.6) (6.4.7)
Мода т— 1 оказывается выделенной, так как для нее сокращаются все члены нулевого порядка разложения по [kr)%,
§ 6.5. неустойчивости плазмы с закрепленной границей
В случае закрепленной границы или внутренних неустойчивостей радиальная компонента возмущения на границе отсутствует, с, =0, и поэтому через границу пет потоков энергии и массы или потока магнитного поля. в этом случае нужно учитывать только внутреннюю часіь f)Wf — пи вакуумный, ни поверхностный члены не даIOг вклада в энергетический принцип. Как и раньше, на границе плазмы допускаются полоидальные поля и магнитный поток.
Внутренняя мода in = 1. В этом случае можно поступить следующим образом: подберем такую пробную функцию, которая локализована в области, где отрицательное слагаемое g$z максимально по абсолютной величине, а положительное f(?')2 не слишком велико. Если р! (г) отрицательно (давление спадает от оси к краю плазмы), чтобы продемонстрировать неустойчивость, для \Т достаточно использовать ступенчатую функцию, которая положительна там, где q(r)<1, и равна пулю в остальной области:
г { 0 q (г) 1
I.
Такая ступенчатая функция в пределе большого аспектного отношения I оказывается очень хорошим приближением для
91
функции, которая минимизирует oWf. Если используется пробная: функция, которая в области [nq—1)^0 имеет большую радиальную производную, то основной вклад в 61Ff дает первое положительное (стабилизирующее) слагаемое в (6.4.4). Вопрос 6.5.1. Решение уравнения Эйлере
должно минимизировать выражение (6.4,4) для 6№f. Подставляя (6.5.2) в (6.4.1 )т при условии 0 при г=0 и г~а, получаем
В то же время мы уже продемонстрировали пробную функцию (6,5.1), которая делает отрицательной величину &Wt при <7(0)<1. Почему же уравнение Эйлера не приводит к соответствующему минимуму для 6WT7
Реальная картина потоков, соответствующая собственной функции при m=lt представляет собой пару конвективных ячеек с почти однородным потоком в центре плазмы и большим обратным потоком, локализованным вблизи от резонансной поверхности с q(r)—\. На рис. 6.5 показана картина потоков, соответствующая равновесию с однородной плотностью тока, при котором собственные функции достаточно плавные. Вдоль осп цилиндра поток очень мал. Картина возмущений магнитного поля тоже представляет собой пару вихрей, смещенных по фазе па 90° по отношению к вихревым ячейкам скорости. В результате такой картины тече-
ния внутри резонансной поверхности происходит конвективный вынос плазмы из центра наружу. Нелинейное развитие такой конвекции обсуждается в гл. 9.
*г І/Є'"+ </?')';] = 0.
Рис 6-5-
.Ь * ^ . І * Vi,. ' « _ _____
m=+ профиле тока. Из работы (17J
і П Рис 6.5. Неустойчивости і/ с закрепленной границей / с ka=\ при однородном
92
Простой метод оценки инкремента этой неустойчивости был предложен в работе Розенблюта, Дагазьяна, Резерфорда [14]. В этой работе считалось, что при kr<^\ и \Bq \<^[Bz\ величинами |7 и можно пренебречь. Предполагалось также наличие большого шира, при котором ступенчатая функция является хорошим приближением.
Эти допущения ведут к следующему выражению для кинетической энергии на единицу длины цилиндра:
КЭ ^ тс J drr т* ро (С + o) - ~« ^drr? р[ o + (Jr7 г*,)2]. (6.5.3)
Минимизируя сумму кинетической и потенциальной энергии по отношению к вариации o?r, фиксированной на оси и на стенке, приходим к уравнению Эйлера
I(2TV> р 4. /) fr}' -(g- 2r* f p') S;r = 0. (6.5.4)
Проверкой можно показать, что слагаемым 2^3P' можно пренебречь по сравнению с g. Существует несколько способов аппроксимации решения уравнения (6.5.4). Ступенчатая функция (6.5.1) представляет собой решение (6.5.4) в первом приближении бо {kr)2. Используя такую ступенчатую функцию, можно один раз проинтегрировать уравнение (6.5.4) для того, чтобы получить приближенное выражение для производной g вдали от резонансной поверхности:
г
/+2lrpS (6.5.5)
const ^ ^
г,
Наконец, приближенное решение для ?г в непосредственной бли-зости от резонансной поверхности q [г$) = 1
|г-г,|и|*|«1 (6.5.6)
можно найти, пренебрегая слагаемыми g^r и используя разложение
/ ~ г3 (kB)2~ т\ 1 (кВУ I2 jc2. (6.5.7)
Полученное уравнение можно проинтегрировать, а его решение, вдали от резонансной поверхности, сшить со ступенчатой функцией (6.5.1):
j. С. const
^ "г ^ (1 - -it arcts f* i (kBy k a }¦ <6-5-8)
Для того чтобы сшить радиальную производную этого решения
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 84 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed