Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Энергетика -> Бейтман Г. -> "МГД-Неустойчивости" -> 43

МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.

Бейтман Г. МГД-Неустойчивости. Под редакцией Шафранова В.Д. — М.: Энергоиздат, 1982. — 198 c.
Скачать (прямая ссылка): mgdneust1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 84 >> Следующая

Беря производные по 0 и ? от этого выражения и используя
103
можно показать, что В ¦ у./0= В - ^0. Отсюда следует, что;
коптр авар на нтттьте компоненты /° и являются поверхностными величинами и поэтому линии плотности тока па плоскости 6, ? выглядят прямыми линиями. Кроме того, можно показать, что
./•=-/ir0lI(Va ^=Lp(V), (7.1.13)
где /и0д(^) и /тоу(V) — полные полоидальный и тороидальный токи, связанные с каждой магнитной поверхностью и определенные выражениями (4.2,3) и (4,2,4).
Суммируя, можно сказать, что координаты Хамады являются специально приспособленными для МГД-равновесия натуральными координатами, в которых как линии В, так и линии J выглядят прямыми, а якобиан всюду нормирован на единицу. Б общем случае координаты Хамады пеортогональны H1 вообще говоря, зависят как от профилей потоков 'Гфтто.ЛЮ и фТг>р(^)1, так и от геометрии магнитных поверхностей. Впервые они были использованы Хамадой в работе, которая в английском переводе появилась в Ї962 г. [8].
Вопрос 7.1,2. Как бы Вы подошли к погтросуию нвпого представления координат Хамады V{R, у, cpj, G(^?, ;/t <р), уу (р) для заданною осесиммет-ричного равновесия, определяемого фдол = ф(Я, «), P=P[IJp}> ф—/(ФК как в гл. 4, подобно равновесию Шафранова (4.4.15) Не заботьтесь о действительном выполнении интегрирования или обращения функций; допустите, что для выполнения вашего плапа применимы мощные аналитические или численные методы.
§7,2 КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ МЕРСЬЕ
Критерий устойчивости Мерсье является прямым обобщением критерия Сайдема (6.5.16) па тороидальную конфигурацию с произвольной формой, произвольным аспектным отношением и ?-Это критерий устойчивости для мод, сильно локализованных около какой-либо рациональной поверхности внутри плазмы. Поэтому он является необходимым условием для линейной устойчивости в случае идеальной магнитной гидродинамики. Если критерий Мерсье указывает па неустойчивость, то определенно будет, по крайней мере, локализованная неустойчивость, а возможно, и крупномасштабная. Если критерий Мерсье указывает на устойчивость, то может все же остаться крупномасштабная неустойчивость. Чтобы гарантировать устойчивость всех МГД-мод, требуется достаточное условие устойчивости. Кроме того, критерий Мерсье^ естественно, ничего не говорит о том, как преобразятся неустойчивости при более реалистических неидеальиых и нелинейных условиях.
Здесь будет лап подробный вывод критерия Мерсье в тесном соответствии с работой [1]. Другой вывод можно найти у Мерсье и Люка [3J1 а для более глубокого физического понимания можно-обратиться к работе [2]. Методика, которая используется в настоящем выводе, широко распространена в литературе по аналитической теории неустойчивостей тороидальной плазмы. Сам критерий
104
в настоящее время используется как некоторый тест при исследовании устойчивоеттт равновесий, получаемых численными методами,. Мы начнем вывод с энергетического принципа (5.4.7);
(7.2.1 (7.2.2)'
где В1 --- V X (І X В)
— возмущение магнитного поля (5.2.5), а
К ^-2J X v^B*vWv7[vvT (7-2-3)
это единственный член в 0, который может быть отрицательным и поэтому дестабилизирующим. Выразим все величины в координатах Хамады V, 8, l, которые были описаны в § 7J. Особенно важны выражения для равновесных величин:
В- В*(У)е<> !- B*(V)et
J -= -/°{У)ев -J' (V) е;;
pT(V)- Jb ?t- J-BK
Из трех контравариантных базисных векторов
ef Vе X е» X V^1 є: ¦= V1' X v° два могут быть выражены через равновесные поля
ес - I4 ?QJ - /•8)///(10
при условии, что BhJ не параллельны друг другу. Разложим вектор смещения следующим образом:
(7.2ЛУ (7.2.5) (7.2.6)
(7.2.7) (7.2.8)
1JL
(7.2.9) (7.2.10) (7.2,11)
Коптравариантные
причем отметим, что fi=(!xB)v, t]=(JXs)" компоненты вектора смещения равны:
У--(Bb-I1 I J**)Iр'{V}; \ (7.2.12)
Отсюда следует, что компоненты электрического поля равны:
(і X BV ¦^; (SX B)9 == - FBt; (s X В)- - - - ФВ\ (7.2 Л 3) а возмущенное магнитное поле, как можно показать, имеет вид
В1
СО *
д
(7.2.14) 105
Наконец, дивергенция вектора смещения, соответствующая ежа тик\или расширению, равна
V-S = W^ +-^ + -эН- (7-2Л5)
Выберем теперь какие-либо волновые числа т и п, так чтобы m плазме была соответствующая резонансная поверхность с
?0 « -= /п/й. (7.2.16)
"Все равновесные величины на этой поверхности будут отмечаться индексом 0.
Основным предположением при выводе является то, что возмущение локализовано в произвольной малой окрестности V0+ є> >Vo>Vu—є резонансной поверхности. На малом масштабе, характерном для неустойчивости, можно определить новую переменную
je = (V - l'e),'«, (7.2.17)
причем
Uj-O при J je I —^ 1 - (7.2.18)
Дальнейший вывод будет состоять в последовательном разложении потенциальной энергии по степеням е. Разложим все равновесные величины в степенной ряд около резонансной поверхности:
В9 -= Bl + єха! + ит, д., (7.2.19)
где В® к Bj*—числовые константы, независящие от xt 0 или ?,
Такая процедура позволит провести аналитическую минимизацию OW последовательно во всех порядках по е. Все возмущенные ¦величины также будут разложены с использованием обозначений:
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 84 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed