Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка):
214
Каждая перестановка может быть выполнена как последовательность того или иного числа транспозиций, причем эта последовательность может быть осуществлена разными путями с разным числом транспозиций. Характерно однако то, что для заданной перестановки это число всегда либо нечетно (включая сами транспозиции), либо четно. Так, первая из указанных циклических перестановок может быть записана в виде
/1 2 3^ (1 3^ а 2\
,2 3 1у ^з \2 1,
или
П 2 3^ 2 3 1
/1 2^ 2 1
/1 3^ 3 1
/
/1
2
/1 3^ 3 1
и т.п.,
/
где в символах перестановок опущены не меняющиеся при транспозициях индексы. По этому признаку все перестановки делятся на четные (четное число транспозиций) и нечетные (нечетное число транспозиций). Указанная выше циклическая перестановка - четная.
В заключение этого пункта приведем еще две полезные для последующего формулы. Пусть/(1, 2,..., №)- произвольная функция переменных 1-й, 2-й и т.д. частиц. Тогда оператор 5, действующий согласно равенству
?/(1,2,...,^) = -^2Р/(1,2,...,Л0,
(4.3.1)
в котором Р — оператор перестановки, а суммирование ведется по всем перестановкам, переводит функцию/(1, 2,..., Ы) в полносимметричную функцию/5уП1, не меняющуюся при любой перестановке индексов частиц. Множитель 1/Л^! введен для того, чтобы
выполнялось равенство .У2 = 5\ Так, для двух частиц 5 - -^(1 + Р12)
и 52 =1(1 + Р12)(1 + Р12) = 1(1 + 2Р12+Р122) = 1(1 + Р12) = ^-Аналогично оператора, определенный соотношением
(4.3.2)
где р - четность перестановки, а суммирование также ведется по всем перестановкам Р, переводит функцию /(1, 2,..., Ы) в антисимметричную функцию/а5ут, меняющую знак при любой нечетной
215
перестановке. Например, пусть Д1, 2) = ф1(1)ф2(2). Тогда
л/а2) = 1(1-р12)ф1(1)ф2(2)=
где символ (1е1{ф|,ф^} обозначает определитель, составленный из функций ф и фп, зависящих каждая от переменных либо первой, либо второй частицы.
в. Точечные группы. Точечные группы симметрии встречаются главным образом при рассмотрении молекулярных систем, поэтому более детально разговор о них пойдет во второй части книги. Здесь же будет приведена краткая классификация операций, образующих точечные группы, и самих точечных групп.
Предварительно введем понятие прямого произведения групп1. Пусть имеются две группы
Тогда множество пар элементов Л } с умножением по формуле
{?,>Л}{^,Л;} = {№Л,А;} (4-3.3)
называется прямым произведением С = С1®С2 двух групп С, и С,. Порядок группы С равен произведению порядков сомножителей. Если у групп (7, и С, нет общих элементов (кроме единичной операции) и они определены как совокупность операций на одном и том же классе объектов, то каждую пару А } можно записать как произведение g.h. Формула (3) и ассоциативность умножения в группе в этом случае показывают, что (^Лу)(^АЛ7) = ?,(Л ?А) А/9 а в то же время gkh? = g.gk^ А А, = g?(gkhJ) кр т.е. операции А. и ?Адолжны коммутировать при любых индексах ; и к .
Пусть, например, рассматриваются операции симметрии в трехмерном пространстве и группа С, включает единичный элемент е и отражение g] в плоскости ху , а группа С, - элемент е и поворот А, вокруг оси г на угол л. Прямое произведение этих групп будет содержать 4 элемента: единичный {е, е}; отражение в плоскости ху: ^х,е}\ поворот вокруг оси г\ {е, А,} и инверсию {#,, А^, при которой х -» -х , у -» -у И 2 -» ~2 .
1 Выше было рассмотрено прямое произведение представлений, которые, как уже говорилось, в общем случае тоже являются группами, образованными матрицами!
|[Ф1(1)Ф2(2)-Ф1(2)ф2(1)]-|
ФтС1) Ф1(2) Ф2О) Фг(2)
216
Вернемся теперь к точечным группам. Эти группы обычно включают следующие операции:
2л
1. Повороты вокруг некоторой оси симметрии на углы —л
(п - целое, к - 1, 2,..., п-\). Такая ось симметрии называется осью симметрии п-то порядка, она обозначается соответствующим числовым символом п. Операции поворота обозначаются как
Сп , С%, С""1. Очевидно, что С~к = Спп~к для любого к*п-\9
где С~к = (С*)~1 • Ось симметрии с максимальным п называется главной осью.
2. Отражения в плоскостях симметрии, обозначаемых буквой т. Операция отражения в плоскости, проходящей через главную ось, обозначается как a(v - vertical, поскольку главная ось обычно выбирается направленной по оси г). Операция отражения в плоскости, перпендикулярной главной оси, обозначается как oh (А - horisontal). Кроме того, вводят еще операции отражения od (d - diagonal), о которых будет сказано позже.
3. Инверсия (в начале системы координат), при которой вектор г переходит в вектор -г, т.е. все три декартовы координаты меняют знак на обратный. Инверсия обозначается либо символом 1, указывающим на наличие центра инверсии, либо символом /, указывающим на наличие операции инверсии.
2яг
4. Зеркальные повороты: повороты на угол —к с последующим отражением в плоскости оЛ. Они обозначаются как Sk и
для точечных групп существенны прежде всего тогда, когда п превосходит порядок главной поворотной оси симметрии. Зеркально-поворотная ось обозначается символом п . В кристаллохимии под зеркальными поворотами обычно подразумевают поворот вокруг оси ат-го порядка (оси г) с последующей инверсией. Поскольку инверсия может быть представлена как последовательность, например, двух операций - отражения в плоскости ху и поворота вокруг оси 2 на угол л, то эти два определения зеркальных поворотов отличаются друг от друга именно на такой поворот
