Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка):
Интересно то, что каждый элемент g группы О можно преобразовать в некоторый элемент этой же группы следующим образом: g? = gigg?~l для любого индекса /. В представлении Г
202
элементу g? будет отвечать матрица С[ -С^С^ 9 а поскольку матрицы в; унитарны, так что С~[г = Сто указанное преобразование есть преобразование эквивалентности, при котором инварианты матрицы С не меняются. Операции g'? , как и матрицы С,', образуют вместе с g (или С) так называемый класс сопряженных элементов. Для матриц представления Г все матрицы из класса сопряженных элементов имеют один и тот же след (как, впрочем, одинаковы и все другие их инварианты), поэтому таблицы характеров приводятся лишь для классов сопряженных элементов. Таким образом, характеры эквивалентных представлений одинаковы, а следы матриц, отвечающих сопряженным элементам группы,
равны друг другу.
в. Приведение представлений. При различных преобразованиях базиса в пространстве 91 может возникнуть такая ситуация, что часть векторов, например е , е2, ... , ек (к < т), преобразуется матрицами С* в себя, т.е. в 94 имеется подпространство 91] С 94, инвариантное относительно матриц представления Г. Это означает, что матрицы С имеют следующую структуру:
G =
Goi G
\**21 ^22/
т.е. верхний правый блок в каждой из матриц в равен нулю. В таком случае говорят, что представление Г приводимо на пространстве 91. Верхний диагональный блок Си размерности кхк действует на подпространстве 91, и не выводит векторы этого подпространства за его пределы. Если к тому же и С21 = 0 для всех операций группы, то представление Г называется вполне приводимым: оно по существу составлено из двух представлений Г] и Г2 меньшей размерности, определенных на двух линейных пространствах 91, и 91„ что записывается следующим образом: 91 = 91,®912 и Г =Г]©Г^. Итак, в этом случае:
G„ 0 >
0 G
х =
22 J
2)
{С1|} = Г,;{С22} = Г2,
где фигурные скобки обозначают множества матриц в и С22 для всех элементов группы. Вместо исходного представления Г можно рассматривать лишь представления Г, и Г2. Представления, образованные унитарными матрицами, обладают той хорошей
203
особенностью, что если они приводимы, то они одновременно и вполне приводимы.
Возникает естественный вопрос, сколько у данной группы может быть различных неприводимых неэквивалентных представлений и на какие неприводимые представления при соответствующем выборе базиса может быть разбито данное представление? Ответ на этот вопрос, по крайней мере для группы конечного порядка, дается двумя утверждениями (теоремами), на доказательстве которых мы останавливаться не будем, а только лишь наметим его после формулировки этих утверждений. Первое из них звучит следующим образом: для группы С конечного порядка N сумма квадратов размерностей п. неэквивалентных неприводимых представлений Г равна порядку группы: 5)дг2 = N. Это - так называемая теорема Бернсайда. Например, у группы 2-го порядка может быть только .два разных неприводимых представления, причем оба одномерные; у группы 6-го порядка - либо 6 одномерных неприводимых представлений, либо два одномерных и одно двумерное неприводимые представления (поскольку I2 + I2 + 22 = 6), других же возможностей нет. Второе утверждение заключается в том, что число, указывающее, сколько раз т. данное неприводимое представление Г встречается в приводимом представлении Г, определяется формулой:
mi = ^E^r((g)Xr(g)s77(Xr-Xr),
g
N
(4.2.5)
гдеХгД#) и Хр (#) - следы матриц, отвечающих элементу группы g в представлениях Г\ и Г, а Хг и Хг ~~ соответствующие векторы-столбцы, составленные из этих следов. Символ ( , ) отвечает скалярному произведению таких векторов, определение которого очевидно из формулы (5).
Доказательство этих утверждений обычно основывается на следующем. Выпишем матрицы какого-либо представления и выделим в каждой из них элемент, стоящий на пересечении /-й строки иу'-го столбца:
J
матрица: элемент: g
G
g
N,ij
204
Составим из ства
этих элементов вектор-столбец ^-мерного простран
1 suj \
(4.2.6)
Таких векторов-столбцов для данного представления Г можно построить и2, где п - и(Г) - размерность представления. Оказывается, что для неприводимых представлений эти векторы взаимно ортогональны:
<8(,-(г),8и(г)) =^6Л' (4-2л)
и следовательно, они линейно независимы. Для двух неэквивалентных неприводимых представлений Г, и Г2 они также ортогональны:
^¦(Г,ин(Г2)) = 0 (VI, у,*, 0- (4.2.8)
Эта конструкция показывает, что в ^-мерном пространстве с вектора-
2 2 2
ми-столбцами из N компонент имеется набор к =пх + п2 + ... + и5 (51 - число неприводимых представлений) линейно независимых взаимно ортогональных векторов вида (6), так что к, по крайней мере, не превышает N. Далее, если выполняются соотношения
(8,;(П,8«(П) =-^7
вытекающие из (7) и (8), то при суммировании по / и у получим так называемые соотношения ортогональности для характеров неприводимых представлений:
8й8 ji
іX *Гі (*)Х г2 (8) (X г/ X г2) = 6 г,г2
g
(4.2.9)
Таким образом, характеры неприводимых представлений взаимно ортогональны и нормированы на N.
