Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Степанов Н.Ф. -> "Квантовая механика и квантовая химия" -> 63

Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.

Степанов Н.Ф. Квантовая механика и квантовая химия — М.: Мир, 2001. — 519 c.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка): stepanov.djvu
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 175 >> Следующая

б. Коммутационные соотношения. Пусть теперь имеется оператор Л, который не зависит явно от времени и коммутирует с оператором Гамильтона. Подействуем этим оператором на левую и правую части временного уравнения Шредингера:
А{1 — 40 = / — (АЧО = АШ = ЩА 40.
Следовательно, функция АЧ? наряду с Ч* будет являться решением временного уравнения Шредингера. Если, в частности, в некоторый начальный момент времени функция Ч* была собственной функцией оператора А: АЧ*(Г = *0) = аЩг = /0), то и во все последующие моменты времени I = *0+ Дг она будет собственной для А с тем же собственным значением. Доказательство этого утверждения базируется на следующем. Пусть А/ мало, так что допустимо представление:
дЧ* А/ = Ч}(и)-'МЧ} Дг.
01
191
Действуя на правую и левую части этой цепочки равенств оператором/!, получим
АЧ*(/0 + АО = АЩ(0) - ШАЩ^М = 4ЧЧ>0) - *НЧ?У0)Ы] =
= яЧ*(*0 + А/). (4.1.2)
Коль скоро это соотношение выполняется при / = 10 + А/, от этого момента времени можно перейти к / = /+ 2Д/и т.д.1
Так, если при инверсии / волновая функция Ч/(/0) меняла знак на обратный: ЛР(/0) = (-1 )Ф(/0), то это ее свойство сохранится и в последующие моменты времени при условии, что оператор / коммутирует с гамильтонианом.
Пусть теперь оператор А таков, что он переводит любое решение *Р временного уравнения Шредингера вновь в решение этого уравнения: Ч?' = АЧ*. В этом случае говорят, что временное уравнение инвариантно относительно А, или инвариантно при преобразовании А. Далее, если временное уравнение инвариантно относительно оператора А и он не зависит явно от времени, то А и Я коммутируют: АН = НА, что показывается без труда.
Если оператора, коммутирующий с Я, не является самосопряженным, можно утверждать, что оператор А1, эрмитово-сопря-женный А, также коммутирует с Я, поскольку
А*Н = {1РАУ = (НАУ = (АН? = Я^ = НА\
где мы воспользовались тем, что № = Я. От операторов А и Л1" можно перейти к двум самосопряженным операторам А% = = (А + Лт)/2 и Ла5 = (А - А*)/И, которые также будут коммутировать с Я. В квантовой механике, как уже говорилось, физически наблюдаемым величинам должны отвечать именно самосопряженные операторы, собственные значения которых вещественны.
в. Законы сохранения. Физические величины, представляемые самосопряженными операторами А, явно от времени не зависящими и коммутирующими с оператором Гамильтона, сохраняются во времени. Это утверждение означает, что среднее значение каждого такого оператора на любой функции состояния не зависит от времени, а функция Ч*, собственная для А в некоторый момент времени 1^, остается таковой во все последующие моменты времени. Вторую часть этого утверждения мы уже
1 При доказательстве в разложении по возможно учесть и более высокие производные, однако для настоящего изложения это не столь существенно. Существенно только то, что окончательный результат остается тем же самым.
192
доказали (см. последовательность равенств (2)). Первая часть доказывается также достаточно просто: если Ф - произвольная функция состояния, то
— < Ф А
ЯФ
А Ф > = <
ЭФ
ы
А Ф > + < Ф
ЯФ
ЗА
Зі
Ф > + < Ф А
ЭФ
> =
А Ф> + <ФЛ -> = к Ф\(НА- АН) | Ф > = О,
і і
где использовано то, что А явно от времени не зависит.
Приведем теперь несколько примеров, иллюстрирующих высказанное в начале этого пункта утверждение.
1°. Пусть оператор Гамильтона Я явно от времени не зависит. Поскольку он коммутирует сам с собой, его среднее значение <Ч* Я Ч/> на любой функции состояния Ч* от времени не зависит, а если к тому же Ф(/0) - собственная функция Я, то она сохраняется собственной и в любой другой момент времени /: №?(/) = ЕЧ*(1\ что свидетельствует о законе сохранения энергии системы.
2°. Если квантовая система свободна, т.е. внешний потенциал отсутствует, то оператор Гамильтона такой системы зависит лишь от расстояний между частицами, ее составляющими. Поэтому переход от исходной системы с радиусами-векторами частиц г к сдвинутой в пространстве системе с радиусами-векторами г + а, где а - некоторый постоянный вектор, будет означать, что
Щт)
Щг + а) = ЧЧг) + У I — ах + ^ау + —
+ ... =
Здесь Ч*(г) = ЧЧг,, г2, ... , Гд). При достаточно малых а можно ограничиться в этом разложении первыми двумя членами, так что
ЧЧг + а)= (1 + 2а-у/)чг(г)^лчг(г)'
і
где У{ - векторный оператор градиента (оператор набла) по переменным с индексом / :
„ . э . э . э
V, -і — + J-+к
дХ1 " ду1 дг1
Оператор А в этом случае коммутирует с Я, поскольку он коммутирует с оператором кинетической энергии г, что достаточно
7 — 1395
193
очевидно, и с оператором V, ибо, например, для одного из слагаемых Сбудем иметь:
А^-Ф=(1 + а^,)^-Ч>
К\2 г К\2
^12
(4.1.3)
Первое слагаемое справа содержит производные по координатам обеих частиц от Л12 = I (хг - х2 У + (у1 - у2) + (г, - г2 ) :
1 / (*і -*2) | (х} -х2)х
К12 К12
ад:|-+- -= ах
Ъхх дх2 ) Я\2
= 0 ,
и аналогично для производных по у и по г. Таким образом, первое слагаемое в (3) равно нулю, что и свидетельствует о коммутировании А с Н. Оператор А есть сумма единичного оператора 1 и
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 175 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed