Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка):
оператора 2а'^ = ^'Р , где Р- оператор полного импульса системы. Коль скоро А коммутирует с Н при любом смещении а , то это в конечном итоге означает, что полный импульс свободной системы сохраняется.
3°. Аналогично можно показать, что для свободной системы или для системы со сферически симметричным (относительно начала системы координат) внешним потенциалом с оператором Гамильтона будет коммутировать оператор 1 + /6ф\?, где 6ф - вектор поворота вокруг некоторой оси на малый угол 6ф (направленный по этой оси), аЬ - оператор момента количества движения системы как целого (например, при повороте вокруг оси г получим 1 + /бф*^). Следовательно для таких систем сохраняется проекция момента количества движения на выделенную ось вращения, а коль скоро эта ось произвольна, то сохраняется и скалярный квадрат оператора момента Ь2.
г. Группа уравнения Шредингера. Группой й называется (конечное или бесконечное) множество элементов, например 8\9 &т> ?лм Для которых определено произведение, причем множество замкнуто относительно умножения, т.е. если g иС, то и g|g/E.G; кроме того, для группы требуется:
а) ассоциативность умножения ?,(?Д*) = (??)?*;
б) наличие единицы, т.е. такого элемента е (например, элемента ?,), для которого справедливы равенства: eg? = g.e = gj;
в) наличие обратного элемента gi 1 для каждого элемента группы g., т.е. такого элемента, что gJx gi = gi g?~1 = е .
Операторы, относительно которых временное уравнение Шредингера для заданной квантовой системы является инвариантным, образуют группу А, В, ... Действительно, если АЧ* и ЯЧ* -решения временного уравнения, то в силу инвариантности решением будет и В(АЧ*), т.е. оператор С = ВА также принадлежит группе С Тождественная операция, очевидно, принадлежит С и является ее единицей, а вот что касается обратных операторов, то здесь положение хитрее: по крайней мере, если они существуют, то также принадлежат О. (Останавливаться на доказательстве этого утверждения не будем). Группа О, образованная операторами, коммутирующими с оператором Гамильтона, называется группой уравнения Шредингера. Рассмотрим множество собственных функций оператора А ЕС Это множество можно разбить на подмножества тех функций, которые принадлежат одному и тому же собственному значению оператора А :
ХИ'-'-'Хы^ Х21'-"'Х2л2 ' ••••>
ах а2
так что Ахік = сі{хік для каждого /. Любая линейная комбинация функций х/А одного и того же подмножества есть вновь функция, собственная для А с тем же собственным значением а.. Матричные элементы оператора Н в этом случае можно записать так:
IН Х,*> = <Х/И | НА | Х;,> = <Х,И | АН | Х,к> =
у/и
>
Сравнивая начало и конец этой цепочки равенств, приходим к выводу, что при / * }
<Х,и|Я|х„> = 0 (1* Л . (4.1.4)
Если функции х^ образуют полный набор (при всех / и к), то оператор Н представляется в базисе этих функций блочно-диагональной матрицей, отличные от нуля элементы которой, вообще говоря, отвечают лишь тем значениям индексов, когда / = у. Следовательно, функции, собственные для оператора Н, всегда могут быть представлены как линейные комбинации функций лишь одного подмножества Х/1'Х*2>*">Хш/• Этот вывод составляет одно из
7*
195
194
утверждений теоремы Вигнера-Эккарта, о которой речь пойдет в § 4 настоящей главы.
Так, в задаче об атоме водорода мы нашли, что оператор Н коммутирует с оператором ?2, а также с операторами проекций момента ?а (а = х, у, г), коммутирующими в свою очередь с ?2. Исходя из сказанного выше, можно сразу же сделать вывод, что собственные функции оператора Н могут быть представлены как линейные комбинации функций, собственных для ?2 с одним и тем же собственным значением /(/ + 1), а также функций, собственных для одного из операторов ?а, например ?2. При действии на эти функции х1т операторов Ьх и Ьу они будут переходить в другие функции, однако, коль скоро Ьх и ? коммутируют с ?2, то получаемые функции ?д/я| и ?>,х/т будут представляться линейными комбинациями функций, относящихся к тому же значению /. Все это нам уже известно, однако служит теперь подтверждением тому общему заключению о структуре матриц операторов и разбиению собственных функций на подмножества, которое было сформулировано выше. В этом примере операторы ?2, ?л, Ьу, и ?2 порождают элементы группы уравнения Шредингера для задачи об атоме водорода, отвечающие всевозможным поворотам в трехмерном пространстве. Эта группа включает также всевозможные произведения операторов поворотов и операторов отражения в плоскостях, проходящих через ядро. Операторы же ?2 и ?а являются генераторами такой группы, т.е. такими операторами, с помощью которых можно построить все элементы группы вращений трехмерного пространства.
Если квантовая система не обладает сферической симметрией, то по крайней мере не все операторы Ьа коммутируют с Н. Так, в однородном магнитном поле гамильтониан содержит член
вида IV - ^аіІі * Н, где /. - операторы момента импульса отдель-
і
ных частиц, а. - постоянные, а Н - постоянный вектор напряженности магнитного поля, направление которого может быть выбрано,
