Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка):
Состояния с достаточно большими периодами превращений, напоминающие во многом стационарные состояния (в частности, волновые функции которых обладают интегрируемым квадратом модуля), хотя в действительности таковыми и не являющиеся, часто называют метастабильными состояниями.
187
которых, как правило, приводит к стабилизации тех или иных долгоживущих нестационарных образований. К сожалению, обсуждение этой проблемы выходит за рамки настоящей книги, хотя различные нестационарные состояния встречаются весьма часто в окружающей нас природе.
г. Непрерывный спектр. Вероятность найти систему в момент времени / в том же самом состоянии, что и в начальный момент / = 0, как следует из результатов п, а, определяется
равенством
2
Р{1) = \<ЩЩ1)>\ =^с]С1е-^1
і
что для дискретного набора уровней сводится к комбинации функций типа со8[(?^ - ?)/], что также следует из примера того же пункта. В случае непрерывного спектра для вероятности Р(1) выполнено аналогичное соотношение с заменой суммирования по дискретному набору уровней на интегрирование по соответствующему интервалу сплошного спектра:
Р(і) = \$к(Е)е-ІЕісІЕ
где и>(?) ^ 0 - плотность распределения энергии в начальном состоянии. Если, например, и>(?) = а при 0 ? Е ? Е и п>(Е) = 0 при Е > Е]9 то для случая, когда непрерывный спектр занимает всю
Положительную полуось энергий, будем иметь
Р(0= 2а—^-1.
Этот результат показывает, что вероятность убывает со временем. Можно показать (В. А. Фок и С. Н. Крылов, 1947 г.), что при достаточно общих требованиях к функции и>(?), в частности, требовании непрерывности, вероятность остаться в том же самом состоянии убывает со временем по экспоненциальному закону: Р(() ~ е-0', так что привычная нам экспоненциальная форма радиоактивного распада - это довольно общая особенность квантовых систем, связанная с тем, что начальное состояние лежит в области непрерывного спектра.
188
Задачи
1. Доказать, что при операторе Гамильтона/^, явно от времени
не зависящем, функция Ф = ^.с^грДг^-^7 , где гр.(г) и Е. - собственные функции и собственные значения Н, является решением временного уравнения Шредингера, причем коэффициенты с от времени не зависят. (Учесть, что функции ^.(г) линейно независимы.)
2. Объяснить, что качественнно изменится в задаче с двумя потенциальными ямами (п. г), если ямы становятся различными по глубине.
3. Получить выражения для коэффициентов прохождения и отражения в задаче с прямоугольным потенциальным барьером при Е > V. Меняются ли эти величины монотонно с ростом Е?
4. Оценить, как качественно изменится форма прямоугольного волнового пакета Ч^х, 0) = О при х < ~~а и при х > -Ь> Ч/(х, 0) = с при -а ? х ^ —Ъ , а > Ъ > 0, если он проходит через прямоугольный потенциальный барьер.
Глава IV
Теория симметрии в квантовой механике
§ 1. Законы сохранения
а. Различные представления. Каждая квантовая система в том или ином квантовом состоянии определяется волновой функцией Ч*, которая может быть задана аналитически либо численно (ее значениями в отдельных точках пространства и в заданный момент времени). Она может быть представлена, как уже говорилось, и в виде ряда Фурье по полному набору базисных функций например собственных для некоторого оператора А:
гР = 2с,Х/ (АХ, = аХ). (4.1.1)
В таком случае функция Ч* полностью определяется набором чисел е., другими словами - числа с. задают представление функции Ч* в базисе {X,}. Эти числа, как уже говорилось, определяются равенством с = <Х1| Ч*>. Если х, являются собственными для А, то говорят об ^-представлении. В рамках стационарной теории возмущений мы пользовались разложением по собственным функциям оператора Н0 , т.е. энергетическим представлением. Возможно разложение в ряд Фурье по собственным функциям оператора импульса Р, например для одномерной задачи - по
собственным функциям оператора р = -г&/А , т.е. по функциям
_ л ,кх
X* ~ Аке ' где * ~ любое вещественное число, а Ак - нормировочный множитель, равный 1/Л/2л для всех к. Выражения для коэффициентов ск9 зависящих теперь уже от переменной к, определяются аналогично тому, что имело место в случае дискретного спектра:
1 00
1 - -На'
с(к) = -= и~ш 4{хц)дх\ л/2л ^
а вместо суммы по / в (1) будет стоять интеграл по переменной к:
00 ч оо 00
—00 —оо —оо
190
(Из этого равенства, коль скоро оно должно быть справедливо для любой функции, например из пространства 82, следует также, что
— }(1ке*{х-х,) =Ь(х-х')
где Ь(х-х') - 6-функция Дирака).
Возможны и другие представления функции Ч* в зависимости от выбора базиса, причем, очевидно, не только Ч*, но и функций вида ВЧ*, где В - некоторый эрмитов оператор, не выводящий функции Ч* за пределы исходного гильбертова пространства. Поскольку
к
то с учетом (1) можно написать
I к
Пользуясь ортонормированностью базисных функций %к9 при скалярном умножении этого равенства на %¦ найдем:
2е/ <х/|д|х/ >=ьг
Интегралы В. = <%\В %> и образованная из них матрица В с элементами В задают представление оператора В в базисе
{X;} (см. также § 4 гл.1).
