Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Степанов Н.Ф. -> "Квантовая механика и квантовая химия" -> 66

Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.

Степанов Н.Ф. Квантовая механика и квантовая химия — М.: Мир, 2001. — 519 c.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка): stepanov.djvu
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 175 >> Следующая

т
/'=1
Коэффициенты gtt> образуют квадратную матрицу G(g), представляющую оператор g на конечномерном линейном пространстве,
199
натянутом на функции Ф/( Любой другой оператор симметрии из группы Б также будет задаваться аналогичной квадратной матрицей. Коль скоро мы уже сказали, что #А = е, это означает, что матрица в обладает тем свойством, что ее к-я степень равна единице: в* = 1. Это условие должно быть выполнено для любой из матриц, отвечающих операциям симметрии конечной группы. Оно, в частности, означает, что определитель матрицы в по модулю должен быть равен единице.
б. Представления групп. Множество Г матриц С2,..., называется представлением группы С, если каждому элементу
соответствует матрица в., причем из равенства gig = gk следует равенство СХ5 = вл. Коль скоро в группе у каждого элемента есть обратный, то матрицы в, все должны быть неособенные. Единице группы отвечает единичная матрица 1. Матрицы из чисел g?rь (1) образуют представление группы симметрии С на пространстве функций Ф, (/ = 1, 2,т).
Рассмотренные выше преобразования: вращения, отражения и другие - не меняют расстояний между точками пространства. К тому же они не меняют и норму функций Ф:
<?ф | ?ф> = <ф 1| ф> = <ф | ф> (4.2.2)
так как
со
*
— со
со
= ^Ф*(гХ9г29. ..,rN;t)Ф(r{9r29...,rN9t)Jdr]dr2...drN ^
—со
где г/ = gri, а 3- модуль якобиана преобразования от переменных г/ к переменным г., составленного из производных дх-а/дх$
(а, Р = х, у, 2)9 т.е. из элементов матрицы в преобразования координат. Модуль же определителя этой матрицы, как показано в конце предыдущего пункта, равен единице. Соотношение (2) должно выполняться для любой функции Ф, имеющей конечную норму, т.е. конечный интеграл <Ф | Ф>. Отсюда следует, что
*Ъ = е (4.2.3)
и соответственно для представления Г:
СЧ5 = 1. (4.2.4)
Матрицы, удовлетворяющие такому соотношению, называются унитарными. Для конечномерных матриц из соотношения (4) к
тому же следует и равенство ЄСТ = 1 (см. задачу 1). Вещественные матрицы, удовлетворяющие (4), называются ортогональными. Определитель унитарных и ортогональных матриц по
модулю равен единице.
Таким образом, матрицы Є/ представления Г суть унитарные матрицы. Можно доказать, что все возможные представления каждой группы С (в том числе и не обязательно группы точечной симметрии) эквивалентны ее унитарным представлениям, другими словами, при подходящем выборе базиса матрицы любого представления переходят в унитарные матрицы, а потому при рассмотрении представлений достаточно ограничиться лишь унитарными представлениями. Среди всех унитарных представлений всегда есть единичное, или полносимметричное, в котором каждому элементу группы g. отвечает одна и та же матрица размерности 1 х 1, а именно единица.
Пусть теперь задано линейное векторное пространство 9& размерности т9 на котором определено представление Г. В этом пространстве имеется ортонормированный базис из векторов е;, которые будем записывать в виде строки (ер е2,...,ет), тогда как произвольный вектор х есть произведение этой строки на столбец
из проекций вектора х на базисные векторы:
Этот столбец будем обозначать далее также через х. Унитарные матрицы Є представления Г преобразуют эти векторы-столбцы без изменения их длины, определяемой соотношением
г =
2 I
= XX.
При переходе от исходного базиса векторов е. к новому ортонорми-рованному базису должно выполняться равенство
(е1,е2,...,ет) = (е1,е2,...,еш)и^,
где матрица и опять-таки должна быть унитарной в силу условия сохранения ортонормированности базиса. Векторы х также преобразуются с помощью матрицы и, тогда как преобразование матриц представления получается следующим образом: если у = вх, то, умножая это равенство слева на и и вводя между С ах единичную
201
200
матрицу 1, представленную в виде произведения UTU, получим:
у = Uy - (UGUr)Ux = G х .
Следовательно, матрицы G представления Г преобразуются в матрицы G' = UGUT представления Г', и так как эти два представления различаются лишь из-за того, что в векторном пространстве по разному заданы два базиса, то они называются эквивалентными.
Несмотря на то, что у матриц, отличающихся друг от друга преобразованием эквивалентности, соответствующие матричные элементы, вообще говоря, различны, тем не менее у них есть и такие комбинации этих матричных элементов, которые при преобразованиях эквивалентности не меняются, т.е. являются инвариантами преобразований. В частности, не меняется сумма диагональных элементов матрицы, называемая ее следом и обозначаемая либо как Sp ( от немецкого Spur - след), либо как tr (от английского trace):
SpG' = Sp(UGUt)- 2(2(U)agw(uV «
i \u J
Kl
и поскольку 1]Ш = 1, то
и к
Совокупность следов матриц представления, записанная, например, в виде вектора-столбца, носит название характера представления.
При преобразовании эквивалентности не меняется и определитель матрицы С Это следует из того, что определитель произведения матриц равен произведению их определителей (все матрицы в нашем случае - квадратные, следовательно, определитель для каждой из них имеет смысл): с!еШг - <1еШ * = ёеШШ * = = сЫС Правда, такой инвариант не очень интересен, ибо определитель всех матриц представления по модулю должен быть равен единице. Есть и другие инварианты у матриц в, сохраняющиеся при преобразованиях эквивалентности, но мы их обсуждать не будем.
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 175 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed