Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка):
7. Из операций группы g = е, gт g3,..., gN можно составить вектор-столбец
82
8к)
при действии на который любой из операций g группы (т.е. при умножении каждого элемента вектора на g) получается новый вектор
ё, 81&»
отличающийся от исходного перестановкой его элементов. Такое преобразование вектора g для каждого элемента группы g может быть представлено квадратной матрицей С; порядка п. Показать, что матрицы в; образуют представление группы. Замечание: это представление называется регулярным.
8. Проверить, что матрицы А^) вп.й образуют представление.
9. Построить регулярное представление для группы СЗУ из п. д. Выяснить, на какие неприводимые представления оно разбивается. На какие неприводимые представления разбивается регулярное представление для произвольной конечной группы?
212
§ 3. Системы тождественных частиц.
Группы перестановок и точечные группы симметрии
В настоящем параграфе будет продолжено обсуждение групп симметрии, присущих молекулярным системам конечных размеров. Мы не затронем при этом групп симметрии твердого тела или высокомолекулярных соединений, обсуждение которых фактически выходит за рамки настоящего изложения.
а. Перестановки тождественных частиц. Молекулярные системы, составляющие основной объект внимания квантовой химии, имеют ту характерную особенность, что они включают, как правило, некоторое число тождественных частиц, имеющих одни и те же массу, заряд, спин и т.п. Как уже было сказано в § 5 гл. II, оператор Гамильтона не меняется (и не должен меняться по физическим соображениям) при перестановке в нем индексов тождественных частиц, поскольку в противном случае у этих частиц имелась бы такая характеристика, по которой их можно было бы различить. Другими словами, оператор Гамильтона должен коммутировать со всеми операторами перестановок индексов тождественных частиц, так что группа перестановок Б^ каждой подсистемы тождественных частиц есть группа уравнения Шредингера для всей системы. А это означает, что волновые функции V как решения этого уравнения должны преобразовываться при действии на них операторов перестановок по какому-либо неприводимому представлению Г группы Б^. Кроме того, если в начальный момент времени Ч*(г, *0) преобразовывалась по неприводимому представлению Г, то и во все последующие моменты времени она будет преобразовываться именно по этому же представлению.
По какому конкретно представлению группы Б^ волновая функция может преобразовываться (по любому или по каким-либо выделенным) квантовая механика отвечает лишь постулатом: волновые функции должны преобразовываться по полносимметричному представлению (т.е. оставаться без изменений), если тождественные частицы имеют целый спин 5; волновые функции должны преобразовываться по антисимметричному представлению (т.е. менять знак при каждой перестановке индексов двух частиц), если тождественные частицы имеют полуцелый спин 5. Оба представления одномерные. Частицы с целым спином называются бозонами (по имени индийского физика Шатьендраната Бозе), а с полуцелым спином - фермионами (по имени итальянского физика Энрико Ферми, работавшего в основном в США).
213
Так, в молекуле М2Н4 имеется три подсистемы тождественных частиц: 18 электронов (5 = 1/2), 4 протона (5 = 1/2) и 2 ядра атома азота (5 = 1 для и 5 = 1/2 для 151Ч). Поэтому волновая функция должна быть антисимметричной при перестановках индексов электронов либо индексов протонов и симметричной при перестановках индексов ядер 14Г4. Если же в молекулу входят вместо протонов дейтероны 2Н (5 = 1), то по перестановкам индексов дейтеронов волновая функция также должна быть полносимметрична.
Такой жесткий отбор по типам симметрии относительно перестановок проявляется в том, какие уровни энергии могут быть у системы, какие допустимы квантовые состояния и какова должна быть статистика в системе большого числа тождественных частиц. Требование к волновой функции быть антисимметричной или полносимметричной не зависит к тому же от того, насколько велик потенциал взаимодействия тождественных частиц между собой: если это взаимодействие пренебрежимо мало, как например, взаимодействие электронов двух атомов, находящихся на большом расстоянии друг от друга, все равно полная волновая функция системы должна быть антисимметрична относительно перестановок индексов всех электронов этих атомов1.
б. Группы перестановок. Группа 5^ перестановок индексов N частиц, ТУ предметов и т.п. включает N1 операций. Среди возможных перестановок выделяют транспозиции (элементарные перестановки двух предметов или индексов) и циклические перестановки, отвечающие, например, переходу индекса 1 на место 2, индекса 2 на место 3 и т.д. до индекса к, переходящего на место 1. Перестановки часто обозначают символом
1 2 3 ... ЛЛ
1\ 12 '3 ¦¦• 'ЛГ/
показывающим, что 1 переходит на место / 2 - на место и т.д. Так, циклическая перестановка трех индексов имеет вид:
/1 2 3^ (1 2 3\
,2 3 либо {3 1 2,
Говоря о малости взаимодействия, мы имеем в виду лишь электромагнитные взаимодействия, а не те слабые взаимодействия, которые вводятся в теории элементарных частиц и ответственны за распад ряда мюонов, К-мезонов и Л-гиперонов, а также за (З-распад ядер.
