Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка):
70
нарное уравнение Шредингера к одному из стандартных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, для которого известны аналитические решения либо в замкнутой форме, либо в форме рядов, коэффициенты которых определяются по известному алгоритму. Обычно подобного типа задачи и бывают представлены в учебниках по квантовой механике. Само существование таких решений не столь уж и важно для качественного анализа решений уравнения Шредингера при рассмотрении конкретных систем. Однако существует множество одномерных задач, которые приближенно сводятся к предыдущим, что дает возможность пользоваться различными процедурами уточнения при поиске их решений, опираясь на результаты точно решаемых задач. К тому же при первом знакомстве с квантовой механикой аналитические выражения оказываются весьма полезными, ибо позволяют отчетливо представить характер и особенности решений, а также связь различных решений между собой.
Как правило, аналитические решения одномерных задач представляются с помощью полиномов специального вида, а уравнение Шредингера после некоторых простых преобразований сводится к уравнению вида
dx dx
где р2(х) - полином от х не выше второй степени; рх(х) - полином не выше первой степени и р0 - действительное число. Такие дифференциальные уравнения имеют решения в виде так называемых гипергеометрической, вырожденной гипергеометрической, цилиндрической и других подобных функций и детально изучаются в теории специальных функций (см., например: Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Основы теории специальных функций.- М.: Наука, 1974).
Ниже мы не будем рассматривать общие конструкции со специальными функциями, а лишь познакомимся с некоторыми частными случаями таких функций и их свойствами на примерах конкретных задач о гармоническом осцилляторе и атоме водорода. И прежде чем переходить к задаче о гармоническом осцилляторе подчеркнем лишний раз, что решения большинства задач квантовой механики, в том числе и одномерных, все же ищутся либо численно, либо в рамках тех или иных приближенных подходов.
б. Гармонический осциллятор. Задача об одномерном гармоническом осцилляторе, т.е. о частице, движущейся в одном
71
измерении х под воздействием гармонического потенциала У(х) = = -^кх2, где к > О - некоторая постоянная, характеризующая
раствор параболы и равная второй производной потенциала в любой точке: к = сРУ/сЬс2. Коль скоро в классической механике сила, действующая на частицу, определяется соотношением ^ = -йУ1с1х - -кх, то к называют силовой постоянной.
Напомним кратко, что получается при решении задачи с таким потенциалом в классической механике. Уравнение Ньютона имеет вид:
йгх т—— = -кх
<#
Это уравнение имеет решения
х =А ът(ш + 6), (1.5.2а)
в которых постоянные А (амплитуда колебаний) и 6 (фаза колебаний) определяются начальными условиями, а ш = у]к/т есть частота колебаний. Энергия частицы
= А 2 cos2 (ш + 6) + - sin2 (ш + 5) ] = А 2 -, (1.5.26) 2 2 2
т.е. для колеблющейся по гармоническому закону частицы энергия
пропорциональна квадрату амплитуды колебаний и квадрату
частоты (к = mw2). В точках х+ = ± \I2E/k = ±А скорость частицы
обращается в нуль и далее частица начинает двигаться в
противоположном направлении. Максимальную скорость, равную
у = Л2о2, частица имеет в точке х = 0.
Перейдем теперь к квантовомеханическому рассмотрению
задачи. Коль скоро V(x) явно от времени не зависит, то в исходном
уравнении Шредингера можно отделить временную переменную
и перейти к стационарному уравнению:
Нц=(-^—^ + ^х2)ц(х) = Ец(х). (1.5.3)
Потенциал V(x) при х -* ±о° также стремится к бесконечности. Поэтому волновая функция ty(x) должна при* -> ±«> стремиться к нулю, т.е. решения задачи должны отвечать классическому финитному движению частицы. Представим в виде экспоненты
72
е~^х) \ в которой пока неизвестная функция f(x) должна быть такой, чтобы выполнялись граничные условия гр(±оо) = 0, т.е. Дх) должна расти при х —*• ±оо. Подставляя эту экспоненту в уравнение (3) и учитывая, что она почти всюду должна быть отлична от нуля, получим уравнение для f(x):
2т ctx 2m\dx) 2
Если при достаточно больших значениях |jc| вторая производная Дг) растет медленнее, чем первая, то ею, так же как и постоянной ?, можно пренебречь, что приводит к уравнению:
— ~Г = ±^ктХ1 т-е- f(x) = ±—~x2. 2т dx 2
Возвращаясь вновь к представлению хр = е~^х\ находим, что из полученных двух функций Дг) нужно из-за граничных условий взять лишь ту, которая при х * 0 положительна:
Ц = Р(х)е-^™х2/2.
Введение функции Дг) служило лишь некоторой наводящей конструкцией, которая показывает, что решения исходного уравнения (3) можно попытаться искать в виде произведения экспоненты на некоторую функцию Р(х):
ц = Р(х)е~Чх2/2 )•
Подставляя это выражение в (3) и деля на J=eT^2/2, приходим к уравнению для Р(х):
1 d2P dP . _ Л тЕ 1
- —— - 2х— + 2/гР = 0, п =---. (1.5.4)
l dx2 dx \2
Если ввести теперь новую переменную у = ^U2X , то получающееся дифференциальное уравнение оказывается совпадающим с хорошо известным уравнением Эрмита:
