Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Степанов Н.Ф. -> "Квантовая механика и квантовая химия" -> 24

Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.

Степанов Н.Ф. Квантовая механика и квантовая химия — М.: Мир, 2001. — 519 c.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка): stepanov.djvu
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 175 >> Следующая

Задачи
1. Пусть матрицы (6) и (7) операторов координаты и импульса представлены лишь верхними диагональными блоками второго порядка:
1/2 -1б/9л2\ / О
1-16/9Я2 У2 I ; ? = <Ш/Щ8/3
Написать коммутатор для этих матриц и вывести соотношение неопределенностей, используя в качестве функции произвольный нормированный вектор
2. Сделать то же, что и в задаче 1, но с верхними диагональными блоками матриц X и р третьего порядка.
3. Найти собственные значения и собственные векторы матриц в задачах 1 и 2; каков их физический смысл? (Предварительно вспомнить, что собой представляют векторы и в каком базисе для рассматриваемых задач они заданы.)
4. Найти общий вид эрмитовых, унитарных и эрмитовых унитарных матриц второго порядка, если их элементы - комплексные числа.
5. Найти общий вид матриц второго порядка, удовлетворяющих условиям: а)ААг+А|А = 1; б)ВВг-ВгВ = 1. Могут ли матрицы А и В быть эрмитовыми?
6. Пусть имеются 3 эрмитовых матрицы 82 и в3 второго порядка и матрица 83 диагональна. Найти вид матриц в1 и в2, если для матриц Б, справедливы равенства:
^1^*2 ~~ ^2^1 = ^3' ^2^3 _ ^3^2 = ^3^1 _ ^1^3~ ^2*
7. Вывести соотношения неопределенностей для операторов:
а) рУ2т и д: ; б) рх и Ьу.
§5. Одномерное движение.
Задача о гармоническом осцилляторе
а. Общая характеристика одномерного движения. Стационарная задача о движении частицы в одном измерении уже отчасти была рассмотрена в § 2 на примере различных прямоугольных потенциалов. В общем случае любой гладкий потенциал можно приблизить ступенчатой функцией (рис.1 5.1), причем для каждой ступеньки решение одномерного уравнения Шредингера имеет достаточно простой вид:
Ф,= А(ек'х +В(е~к'х,
где к;= ^2т(У1 - Е) , V. - постоянный потенциал ступеньки с номером /, Е - энергия частицы с массой Ау и В1 - постоянные, определяемые условиями сшивания функций ф и их первых производных в точках скачка потенциала. Выбирая ширину ступенек достаточно малой, придем к решению, близкому к точному во всей области изменения переменной х. Если V. < Е , то к/ может быть представлено как /X с вещественным X, т.е. в этой области ф;есть линейная комбинация 8шХх и собХ*. Если же V.> ?, то к( вещественно, и в качестве решения выступают экспоненты от вещественного аргумента, затухающие по мере проникновения под потенциальный барьер. Функции, которые представляют собой решения одномерного уравнения Шредингера при условиях, что для каждого собственного значения Е потенциал всюду справа от некоторой точки хг и всюду слева от некоторой точки х{ превосходит Е (V - Е > 0 при х > хг и при х < х{), отвечают финитному движению, т.е. движению в конечной области, и обладают интегри-
Рис. 1.5.1. Аппроксимация гладкого потенциала ступенчатой функцией.
69
68
руемым квадратом модуля. В противном случае они принадлежат непрерывному (существенному) спектру и нормируемы на 6-функцию.
Собственные функции для одномерного гамильтониана, как и для любого эрмитова оператора, ортогональны, если они относятся к разным собственным значениям. Более того, в одномерных задачах функции, отвечающие финитному движению, всегда невырождены, т.е. каждому собственному значению принадлежит лишь одна собственная функция. Если же энергия такова, что она отвечает непрерывному спектру, то кратность вырождения не превышает двух. Эти два утверждения (как, впрочем, и ряд других, представленных ниже) следуют из теории линейных дифференциальных уравнений второго порядка, и на доказательстве их мы останавливаться не будем, т.е. будем принимать как должное.
К числу таких утверждений относится и следующее. Пусть одномерный потенциал У(х) ограничен справа (х > хг) и слева (х < х{) бесконечно высокими стенками, так что на границах в точках хг и х1 волновая функция обращается в нуль. Тогда, при расширении потенциального ящика, т.е. при переходе к новым границам хг' > хг и (или) х/ < хп все собственные значения понижаются (Ек' < Ек), а при его сужении повышаются. Для прямоугольного ящика с постоянным потенциалом внутри него (V = 0 при лг,25 х =?Хг) это очевидно, коль скоро уровни энергии, согласно уравнению (2.8), обратно пропорциональны квадрату ширины ящика.
Еще одно полезное утверждение заключается в том, что волновая функция низшего по энергии состояния дискретного спектра не имеет узлов, т.е. обращается в нуль лишь на концах интервала, где потенциал конечен. По мере увеличения номера собственного значения число узлов растет, причем оно оказывается равным к, где к - номер уровня (если номер низшего уровня принят равным 0). Это - так называемая теорема Гильберта.
Если потенциал У(х) непрерывен на отрезке х( ^ х ^ хг, а. вне его обращается в бесконечность, то система собственных функций стационарного уравнения Шредингера с потенциалом У(х) является полной в пространстве 82 функций, заданных на этом отрезке, так что любую функцию/(*), х Е [хг хг] можно разложить в ряд Фурье по собственным функциям такой системы.
Что же касается непосредственного нахождения решений для одномерных задач, то здесь положение таково. В ряде случаев для сравнительно простых потенциалов удается свести стацио-
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 175 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed