Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка):
Если же прибор устроен так, что он сразу регистрирует некоторое среднее по множеству отдельных "элементарных" актов измерения, то это среднее должно совпадать с <Ь>. Для такого среднего можно, учитывая вероятностный характер отдельных значений, ввести понятие дисперсии и считать, что те дисперсии, которые фигурируют в соотношении неопределенностей, как раз и имеют смысл дисперсий измерения физических величин для системы, находящейся в квантовом состоянии гр. Поэтому соотношения неопределенностей допускают еще одну интерпре-
3 — 1395
65
тацию: произведение дисперсий для двух физических величин, измеряемых у квантовой системы, которая находится в состоянии гр, всегда больше (одной четвертой) квадрата среднего значения того оператора, который соответствует коммутатору операторов, отвечающих измеряемым величинам. Если эти операторы коммутируют, то результат оказывается тривиальным (дисперсии неотрицательны), а если не коммутируют, как то имеет место для канонически сопряженных величин, то появляется новый элемент: две такие физические величины не могут быть измерены точно в состоянии гр. Даже если это состояние - собственное для одного из операторов (А) и дисперсия оказывается равной нулю, то для другого оператора (В) оно обязательно не будет собственным (операторы А и В не коммутируют), а потому в силу соотношения неопределенностей дисперсия измерения Ъ оказывается бесконечно большой, т.е. при отдельных измерениях могут получаться любые результаты. Так, в состоянии, в котором точно определен импульс системы для одной частицы, т.е. в состоянии с волновой функцией видаЛе/кг, нельзя ничего сказать о конкретном местоположении частицы: в любой точке пространства ее можно найти с равной вероятностью. Наоборот, если частица локализована в некоторой малой области пространства, то становится неопределенным ее импульс.
з. Соотношение неопределенностей энергия-время.* Если в формуле (14) использовать вместо операторов А к В операторы I и рх = /йд/Э*, для которых справедливо коммутационное соотношение/й, то для квадрата нормы функции получим
< (/ + {Кр. Уф|(/ + 1кр. )гр > =
' ^ ^' ^ (1.4.20)
= г~ < гр|яр > + /\{< Л^|р,Ц) > - < />,гр|лр >) + X2 < р^р,^ > .
Оператор р, не является эрмитовым, поскольку скалярное произведение определено как интеграл по пространственным переменным, ар, от них не зависит. В то же время он очень похож
В квантовой механике время играет роль параметра, определяемого часами, находящимися вне квантовой системы. Поэтому неопределенность во времени может для квантовой системы лишь означать, что измерение или воздействие на систему осуществляется не мгновенно, а за конечный промежуток времени. Однако соотношения, представленные в этом пункте, от этого различия наблюдаемых величин и времени не меняются, что и дало возможность кратко обсудить их в настоящем параграфе.
66
на эрмитов оператор, что показывает следующая цепочка равенств:
ф| Pt № > = * — dx = ifif
= ih— J4p * г|)dx + j(ih ^
д , ± . dw* — (Ф *гіл--1—tJj
dt at
dx =
... , . (1.4.21)
dtJ Л dt) 1 v }
(первый интеграл в левой части последнего равенства обращается
в нуль за счет ортогональности функций ф и ty). Таким образом,
для оператораpt= ih d/dt получается такого же типа соотношение,
как для эрмитова оператора.
Если теперь вернуться к правой части (20), то выражение
в скобках можно преобразовать к виду
F= <tty\р\\» - <ptty |/яр> = <ф |/pjt|» - <ф |/>/|*Ф> -< >)'
что окончательно с учетом коммутатора tpt - ptt = - ih и нормировки функции ф на 1 (или на б-функцию) дает F = -2ih. Соотношение (20) при этом приобретает вид:
0=5 < (f + + i\pt)ty > = X2 < ptty\ptty > +2fik + t2.
Будем теперь считать, что функция \\} описывает состояние квантовой системы, т.е. удовлетворяет уравнению Шредингера:
th^y^t = p,ty »/Тф . Подставляя Н\\} в первый интеграл правой части, с учетом эрмитовости Н найдем:
X2 <г|)
Н
0.
> +2ЛХ + г2
Совершенно аналогичное соотношение можно получить, если вместо / ирг использовать А/ = г - /0 и Ар, = р, - Е0, где Е -некоторая постоянная, а /0 - начальный момент времени. Выбирая в качестве Е0 среднее значение <\^|//|\^> гамильтониана в состоянии гр, получим, как и ранее:
(Н-<Н>)2 ty>At2 гЙ2/4.
(1.4.22)
Это соотношение носит название соотношения неопределенностей для энергии и времени, причем первый сомножитель слева отвечает дисперсии в значениях энергии, среднее значение которой равно Е0 = <Н>. Оно показывает, что при измерении энергии за конечный промежуток времени мы не можем получить точного значения энергии (как это имеет место в состоянии, собственном для //), а только лишь некоторое среднее значение с конечной дисперсией. При таком измерении энергии состояние, собственное для Н, перестает
3*
67
быть собственным, переводится в некоторое нестационарное состояние с определенным лишь средним значением энергии, которое к тому же может меняться с течением времени. Для энергии появляется некоторая полоса значений, в которую и попадают измеряемые величины энергии такой системы. Энергетический уровень перестает иметь точное значение, перестает быть бесконечно узким и приобретает некоторую конечную ширину.
