Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка):
1^_2у^ + 2Л5 = 0, S(y) = P(rV2y). (1-5.5) dy dy
Отметим, что с использованием переменной у волновую функцию хр можно представить в виде:
Ч>(Г1/2у) = S(y)e-y2/29 (L5.6)
73
тогда как исходный оператор Гамильтона запишется так:
2т dx2 2 2т dy2 2? 2[dy2 )
Предположим, что функцию S(y) можно представить в виде ряда, не конкретизируя пока, сходится ли он или нет:
5(у)= 2«1У1- (1.5.8)
Тогда, пользуясь тем, что сумма не зависит от обозначения индекса, по которому ведется суммирование, можем написать:
*Ц- = l i(i - ЩУ1~2 - | O + 2)0' + l)*i+2/ , dy" ыг ?=0
поскольку индекс суммирования / можно заменить на / + 2 с соответствующим изменением пределов суммирования. Кроме того,
2у^ = 2§шУ,
а уравнение (5) переходит в следующее:
J [(I + 2)(/ + l)ai+2 - 2(/ - п)щ ]у1 = 0.
?=0
Чтобы это равенство выполнялось при любом у, требуется обращение в нуль всех коэффициентов ряда, т.е.
¦
аи2=2-—-а,-. (1.5.10)
1+2 (!'+2X1 + 1)
Если п фиксировано, то при достаточно больших / можно написать аг+2/а1 - 2Ш2 = 2//, т.е. отношение этих коэффициентов такое же, как и отношение двух последовательных коэффициентов
2 2 2 2' ( 2 V
в разложении е2у по степеням у2: е у \У ) • Следова-
тельно, этот ряд при больших у в общем случае должен вести себя как указанная экспонента, т.е. стремиться к бесконечности.
С учетом представления функции \|> в виде Б(у)е у можно сразу
сказать, что такое решение для описания функций дискретного спектра не годится.
Тем не менее решения, которые приемлемы для описания функций дискретного спектра, у данной задачи существуют. Действительно, если п - целое положительное число или нуль, то при
74
I = п коэффициент а/+2, как, впрочем, и все последующие коэффициенты, обращаются в нуль. Следовательно, при целом п > 0 вместо исходного ряда (8) для 5(у) получается полином конечной степени п. В этом полиноме коэффициенты а0и а, задаются, вообще говоря, произвольно и старшим членом служит апуп, где ап получается последовательным применением формулы (10) до 1-п- 2. Характерно то, что формула (10) связывает коэффициенты а.+2 и аг Поэтому, если одновременно и а0, и ах отличны от нуля, то либо для четных, либо для нечетных / ряд оборвется на л-й степени, тогда как на нечетных (либо на четных) / он продолжится до бесконечности. Чтобы не возникало опять неприемлемых решений, нужно ввести еще одно условие: коэффициент ах либо а0(в зависимости от четности п ) должен быть принят равным нулю. Такие полиномы конечной степени обычно обозначаются как Яя(у). Итак, мы получили окончательно решения в виде:
% = Ня(у)е'>2л (я = 0, 1,2,...) (1.5.11)
и, поскольку в уравнении (5) п имело вид, приведенный в формуле (4), то
?-=!Н) "ё К) =шН)- (1'5Л2>
Величины Еп определяют энергию гармонического осциллятора. Они образуют дискретный спектр, и только при этих значениях Е у исходного уравнения (3) имеются решения, стремящиеся к нулю при |х| -> оо. Эти решения, как можно показать, обладают интег-
-3 -2 -1 0 1 2 3 К
Рис. 1.5.2. Волновые функции низших состояний гармонического осциллятора.
75
рируемым квадратом модуля (и могут быть нормированы), а как собственные функции эрмитова оператора Н в уравнении (3) они должны быть к тому же взаимно ортогональны. В этом спектре все соседние уровни отстоят друг от друга на одну и ту же величину О).
Сравнение с классической задачей показывает, что у кванто-вомеханического осциллятора в отличие от классического энергия зависит только от частоты и может иметь только определенные, дискретные значения (называемые уровнями энергии).
Волновые функции низших состояний таковы:
А0е~у2/2;
Цх=Ахуе-У2і2\
% = А2(2у2-1)е-у2/2; (1.5.13)
%= А3(2у3-3у)е-у2/2;
Ч>4= А4(4у4 -12у2 +3)<г'2/2;
гдеЛл - нормировочные коэффициенты. Графически эти функции представлены на рис. 1.5.2, причем для наглядности каждая из функций изображена возле отвечающего ей уровня энергии, так что для каждой из функций по оси ординат отложено ее значение (а не энергия!), и нулем отсчета служит соответствующий энергетический уровень.
Полиномы Нп(у), обычно называемые полиномами Эрмита, были впервые исследованы русским математиком П. Л. Чебышевым (1859 г.) и французским математиком Ш. Эрмитом (1864 г.). Они допускают несколько различные представления, в частности
Sn(y) = ЫГеу2 ^-e~yl. (1.5.14)
dy
При такой записи полиномов Эрмита для функций tyn (6), которые по аналогии называют функциями Эрмита, нормировочными
множителями служат величины Bn~ (2nn\ л/л )~1/2 , так что
4n=(2"nlyfcyV2Sn(y)e->2/2. (1-5.15)
Множители Влсвязаны с коэффициентамиАлв равенствах ( 12) весьма просто: А = В 2"/2, если п четное, и А = 2{п+тВ , если п нечетное.
е. Операторы повышения-понижения. Задача о гармоническом осцилляторе играет весьма заметную роль в квантовой
76
механике, поскольку она позволяет не только получить аналитические решения, но и проследить различные подходы к их нахождению. Один из таких весьма примечательных подходов заключается в построении операторов, которые переводят одну собственную функцию в другую. Оператор, который из функции г|)л п-го энергетического уровня получает собственные функции более высоких уровней, называется при этом оператором повышения, а более низких - оператором понижения. Как строятся подобные операторы для задачи о гармоническом осцилляторе, можно без труда понять из вида собственных функций (15) и представления (14), а также вида коэффициентов Вп. Так,
