Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Степанов Н.Ф. -> "Квантовая механика и квантовая химия" -> 21

Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.

Степанов Н.Ф. Квантовая механика и квантовая химия — М.: Мир, 2001. — 519 c.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка): stepanov.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 175 >> Следующая

59
больше к(к + 1)/2]. Вводимая таким образом матрица и из коэффициентов и будет произвольной унитарной матрицей. Для унитарного преобразования характерно то, что матрицей, обратной и,, является и*, т.е. матрица, эрмитово сопряженная и. Следовательно, ^ (11^)^(11)^ = 2) и*ікиі) ~ ^к): > что позволяет выразить из
(12) грА через ф( при умножении обеих частей равенства на и*к и суммировании по /:
Ук = ^<4ф, • (1.4.13)
Подставляя это выражение в матричные элементы оператора В в базисе функций ц^, можно представить их через матричные элементы этого же оператора в базисе функций ф :
],к
что в матричном виде запишется следующим образом:
в(1р) = и*в(ф)и и в(ф) = ив(ч0и*.
Коль скоро матрица эрмитова, то при соответствующем выборе унитарного преобразования она может быть сведена к диагональной матрице В(ф' с диагональными элементами Ь.. Это в свою очередь будет означать, что базис функций ф; представляет собой набор собственных для оператора В функций с собственными значениями Ъ : Вер = А .т..
Таким образом, коммутация операторов Л и В и в этом случае будет означать, что у них может быть выбрана общая система собственных функций. Все функции ф.будут относиться к одному и тому же собственному значению оператора Л, но каждая из них - к вполне определенному собственному значению Ъ оператора В (которые могут хотя бы отчасти и совпадать друг с другом).
д. Соотношения неопределенностей. Если операторы не коммутируют, то для них рассуждения предыдущего пункта справедливы уже не будут. Тем не менее, и здесь можно получить ряд весьма полезных результатов, правда уже не для волновых функций и собственных значений, а для средних значений операторов.
Итак, пусть АВ - ВА = /С, где, как нетрудно убедиться, оператор С эрмитов, если эрмитовы А и В:
а) (АВ - ВА)* = (АВ)* - (ВА)* = В*А* - А*В* = = ВА-АВ = -(АВ-ВА);
б) (ІС)* = го = ~ю.
60
Сравнивая правые части этих равенств с исходным соотношением коммутации, приходим к выводу, что О = С, т.е. С - эрмитов.
Возьмем теперь некоторую функцию состояния гр, из которой построим две новые функции: Лг|) и 2?гр, после чего возьмем следующую их линейную комбинацию:
Ф = Лгр + /ХВг|> = (А + /ХВ)г|) , (1.4.14)
где X - вещественный числовой множитель. Очевидно, что
л
Ч*|2АйО,
причем равенство нулю выполняется, только если Ч1 = 0. Учтем теперь то, что имеет вполне конкретный вид (14), и преобразуем данный интеграл:
/^А; = |(Ахр + Лвф)*(Ап> + ЛВЦОА = ]>* (А-1ХВ)(А-?1ХВ)Ц)ск,
где учтено то, что операторы Л и В - эрмитовы, а г при комплексном сопряжении меняет знак. Произведение операторов под интегралом может быть записано через коммутатор /С операторов А и В :
]\Ч*\2ск=$\\}*([А2 + Х2В2 + *Х(АВ-ВА))ц^т =
= Х2 <'фВ2'ф>-Х<^|С|^> + <^|А2|гі)> * 0
Это неравенство должно выполняться при любом X. Интеграл при X2 неотрицателен (как и свободный член этого выражения),
поскольку <гр| В 2 \хр> = <В\р | Вгр> = $\В\\?\ йх. Квадратный же трехчлен с положительном коэффициентом перед X2 при любом X может быть неотрицателен только тогда, когда дискриминант соответствующего квадратного уравнения меньше или, в крайнем случае, равен нулю:
<гр|С|гр >2 -4<гр Таким образом,
А2
В
гр > й 0
< тр
гр >< гр
В
(1.4.15)
Прежде чем двигаться дальше, отметим еще одно обстоятельство. Если АВ - ВА = /С, то и (А - а!)(В - р7) - (В - р/)(Л -~аГ) = іС, где а и Р - некоторые вещественные числа, а I -единичный оператор, который далее ради простоты выписывать не будем. По этой причине соотношение (14) будет справедливо
61
не только для средних значений операторов Л2 и В2, но и для средних значений операторов (А - а1)2 и (В - р/)2. Подберем теперь действительные числа аир так, чтобы величины < гр\(А - а)2\\^> и <гр|(В- Р)2|тр> были бы минимальны. Поскольку
^(а) = <Ц)(А-а)2 \р > - 2а < \р|А|\р > + < -ф|\р
>
то требование минимума dFlda = 0 будет означать, что
а = <гр|А|гр >/<г^|хр >,
т.е. минимум достигается на среднем значении оператора А в состоянии с волновой функцией гр. Будем далее без потери общности считать, что эта функция нормирована на единицу (в противном
случае можно перейти к нормированной функции гр/<г|)|гр >1/2 ,
либо, если функция гр относится к непрерывному спектру, ввести нормировку на 6-функцию). Таким образом, минимум левой части в неравенстве (15) также достигается при ат1п = <ф|Л|\|» и Рт|П =
= <мв\ц>.
Интеграл <гр|Л|\|)> можно записать следующим образом:
гр|А|г|) > = ^гр * Ах^ск = ^(гр *гр)|—Агр
и, если гр*гр интерпретировать как плотность вероятности обнаружить частицу в точке г (или систему частиц в соответствующей точке конфигурационного пространства), то функцию Лгр /гр тогда можно той случайной величиной, среднее значение которой мы вычисляем и которая отвечает наблюдаемой физической величине, задаваемой в исходном построении оператором А. Для оператора Л2 аналогично можем написать
< гр
гр > =< Агр|Агр > = * гр)[ — Агр
1 ч Ь
— Агр ат,
что, по крайней мере для вещественных операторов и функций, приобретает тот же смысл, что и среднее значение оператора А. При таком подходе среднее значение оператора (А ~ ат[п)2 будет представлять собой дисперсию соответствующей случайной величины, распределенной с функцией плотности вероятности р =1|;*1р:
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 175 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed