Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка):
45
эрмитов оператор. При переходе от классических выражений к квантовомеханическим операторам за этим обстоятельством надо тщательно следить.
в. Собственные функции и собственные значения.
Если оператор Л переводит функцию яр в функцию, отличающуюся от яр лишь числовым множителем
Аяр = Хяр, (1.3.5)
то говорят, что эта функция есть собственная функция оператора А, а числовой множитель К - собственное значение этого оператора на функции яр.
Примеры: 1. При поворотах С2(а) в трехмерном пространстве Я3 вокруг оси 2 на произвольный угол а любой вектор, направленный по оси 2, не меняется, т.е. переходит в себя. Следовательно, он является собственным для таких операторов поворота вокруг оси г с собственным значением, равным 1. При отражении о в плоскости ху каждый из этих векторов умножается на -1, тогда как любой вектор (х9 у, 0), лежащий в плоскости ху9 при этом не меняется: оху(09 0, г) = -1(0, 0, г) и о (х9 у, 0) = = 1 '(х, у, 0), так что такие векторы являются также собственными для оператора оху (выше символ (х9 у9 г) обозначает вектор с декартовыми компонентами х9 у и г соответственно).
2. Пусть заданы функции двух переменных /(х{9 х2)9 например / =х2х2- При перестановке местами переменных х и х29 что можно представить себе как результат действия (линейного) оператора перестановки Р, 2, функции Дх{9х2) переходят в новые функции е{х^х2) з Дх2, хх)9 в указанном примере - в функцию ххх\. Попробуем найти такие функции /, которые были бы собственными для Рх 2: Рх 2/ = X/. Подействуем на правую и левую части равенства еще раз оператором Рх 2: Р 2(РХ /) =
= МЛ,2-/)* Полученное соотношение показывает, во-первых, что функция g = Р}2/ наряду с / также является собственной для оператора Рх 2 (что, конечно, достаточно тривиально). Оно, во-вторых, показывает, что (Р, 2 Р] 2)/ = I}/ и, поскольку Рх 2 Р] 2 ничего не меняет в функции/(так называемая единичная операция), то к2 = 1. Следовательно, если у Р] 2 есть собственные функции, то собственные значения для этого оператора на таких функциях равны ±1. Собственное значение +1 означает, что функция/не меняется при перестановке переменных х} и х29 т.е. такая функция является симметричной (или, что то же, полносимметричной) относительно
46
перестановки переменныххх их,. Так, в приведенном выше случае х\х * х\хХ9 тогда как сумма х\х + х\хх при перестановке Р, 2 не меняется, т.е. она является полносимметричной. С другой стороны, разность х\х-х\хх при перестановке РХ2 меняет знак, т.е. она также является собственной для оператора Р, 2, но уже с собственным значением -1. Такие функции называют антисимметричными относительно перестановки Р1 2.
3. Найдем теперь функции яр, собственные для оператора
импульса рх= ~^У^Х-
д \
- Л — | яр(д:) = Ляр(х). дх/
Решения такого дифференциального уравнения первого порядка для одномерного случая имеют вид
яр(х,*)= Ае1кх1\ (1.3.6)
где Л - произвольная постоянная, а собственное значение к может принимать любое значение на вещественной числовой оси. Эта величина имеет смысл постоянного импульса свободной частицы, движущейся вдоль осих.
В трехмерном случае собственной функцией для операторов рх9 ру и рт будет следующая:
яр(г,к)= Аке1кг/\ (1.3.7)
где г - радиус-вектор частицы, а к - так называемый волновой вектор из собственных значений операторов ра (а = х9 у, 2), т.е. из к , к и к .
4. Наконец, еще один пример, который был фактически рассмотрен выше: если потенциал для квантовой системы явно от времени не зависит, то волновую функцию, являющуюся решением уравнения Шредингера, можно записать в виде произведения двух сомножителей, из которых один зависит только от времени, а другой (функция Ч*) - только от пространственных переменных. Сомножитель Ч* является решением стационарного уравнения Шредингера
представляющего собой не что иное, как уравнение на собственные значения.
Собственные значения оператора Гамильтона Н в общем случае могут относиться к дискретному спектру (задача предыдущего параграфа о частице в потенциальном ящике с бесконеч-
47
но высокими стенками) и к непрерывному, или существенному спектру, где собственное значение Е может принимать любое значение, например из интервала [0, оо). у одной и той же задачи могут быть такие области изменения ?, где имеется только дискретный спектр, и такие, где имеется непрерывный спектр, который в физике часто называют также сплошным.
Характерной особенностью функций дискретного спектра является наличие у них интегрируемого квадрата модуля, т.е. эти функции могут быть нормированы на единицу. Коль скоро интеграл по всему пространству переменных, от которых зависят такие функции, сходится, то очевидно, что при стремлении переменных к бесконечности плотность вероятности должна стремиться к нулю, причем достаточно быстро, так чтобы интеграл <Ч/|Ч/> не расходился. Задача со "ступенькой" из предыдущего параграфа показывает, что если при х -» оо разность Е - У(х) < О при всех х, то волновая функция будет стремиться к нулю по закону е-***, где к - некоторая положительная постоянная. Другими словами, волновая функция экспоненциально затухает.
